Question

Решить дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными а)y+y/x=0 б)x^2*y-корень из x* cos^2y=0 только подробно, пожалуйста

Answer 1

Y' + y/x = 0

y' = -y/x

dy/dx = -y/x

dy/y = -dx/x

lny = -lnx + lnC = ln(C/x)

y = C/x - ответ в а)

б)
x²y' -√x * cos²y = 0
x²y' = √x * cos²y
dy/cos²y = √xdx/x² = x^(-1,5)dx

tgy = -2/√x + C

y = arctg(C - 2/√x) - ответ в б)

Answer 2

Давайте решим данные дифференциальные уравнения по порядку:

а) y + y/x = 0

Для начала, перепишем уравнение так, чтобы переменные y и x были разделены:

y + y/x = 0

y + (1/x)y = 0

Теперь вынесем y за скобку:

y(1 + 1/x) = 0

Уравнение будет равно нулю только в двух случаях: когда y = 0 или (1 + 1/x) = 0.

1. Когда y = 0: Подставим y = 0 обратно в уравнение: 0 + 0/x = 0

Это уравнение верно для любого x, кроме x = 0. Таким образом, одно из решений - y = 0, x ≠ 0.

2. Когда (1 + 1/x) = 0: Решим уравнение (1 + 1/x) = 0 относительно x:

1 + 1/x = 0

1 = -1/x

x = -1

Таким образом, второе решение - x = -1, при этом y может быть любым.

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения будет:

y = 0, x ≠ 0 или x = -1, где y - произвольное число.

б) x^2y - корень из xcos^2y = 0

Для начала, перепишем уравнение так, чтобы переменные y и x были разделены:

x^2y - корень из xcos^2y = 0

Теперь выразим y:

x^2y = корень из xcos^2y

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

(x^2y)^2 = (корень из xcos^2y)^2

x^4y^2 = xcos^2y

Получили уравнение, которое всё ещё содержит переменные x и y. Теперь возможны два варианта:

1. y = 0: Если y = 0, то первоначальное уравнение становится:

x^20 - корень из xcos^20 = 0

0 - корень из 0 = 0

Уравнение верно, так как корень из нуля равен нулю. Таким образом, одно из решений - y = 0, и x может быть любым, кроме x = 0.

2. y ≠ 0: Если y ≠ 0, то можем разделить обе части уравнения на y:

x^4y^2 / y = xcos^2y / y

x^4y = xcos^2y

Теперь, если x ≠ 0, можем сократить x на обеих сторонах:

x^3*y = cos^2y

Теперь можем выразить y:

y = cos^2y / x^3

Для дальнейшего решения, нужно уточнить условия задачи, например, определиться со значением x или задать начальные условия для y(x₀) и x₀.