Question

Решить неравенство: 4^х больше либо равно 1/2

Answer 1

4ˣ ≥ 1/2 - преобразуем

 2²ˣ ≥ 2⁻¹

x = -0,5, если подставим это значение вместо "х", то стороны уровняться, что входит область допустимых значений, так как знак "больше или равно".

Ответ: x ∪ (-0,5 ; ⁺∞)

Answer 2

Для решения неравенства $4^x \geq \frac{1}{2}$, мы должны найти значения $x$, при которых это неравенство выполняется.

Давайте начнем с перевода неравенства в эквивалентное уравнение:

$4^x = \frac{1}{2}$

Теперь найдем степень $x$, при которой $4^x$ равно $\frac{1}{2}$. Заметим, что $\frac{1}{2} = 2^{-1}$. Таким образом:

$4^x = 2^{-1}$

Для того чтобы найти значение $x$, возводим обе стороны уравнения в логарифм с основанием 4:

$x = \log_4(2^{-1})$

Свойство логарифмов: $\log_a(b^c) = c \cdot \log_a(b)$

$x = -\log_4(2)$

Теперь, используя свойство логарифмов $\log_a(b) = \frac{\log_c(b)}{\log_c(a)}$, где $c$ - произвольное основание логарифма:

$x = -\frac{\log_2(2)}{\log_2(4)}$

Мы знаем, что $\log_a(a) = 1$, поэтому:

$x = -\frac{1}{2}$

Таким образом, получили, что $x = -\frac{1}{2}$.

Теперь проверим два интервала: $x < -\frac{1}{2}$ и $x \geq -\frac{1}{2}$.

1. Проверка для $x < -\frac{1}{2}$: Для отрицательных значений $x$, $4^x$ будет положительным, и его значения будут увеличиваться с уменьшением $x$. Поскольку $4^x$ всегда больше 0, данное неравенство $4^x \geq \frac{1}{2}$ верно для всех $x < -\frac{1}{2}$.

2. Проверка для $x \geq -\frac{1}{2}$: Мы уже нашли, что $x = -\frac{1}{2}$ является решением данного уравнения. При $x = -\frac{1}{2}$, $4^x = 4^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}$. Таким образом, данное неравенство верно и для $x = -\frac{1}{2}$.

Итак, решение данного неравенства $4^x \geq \frac{1}{2}$ - это $x \geq -\frac{1}{2}$.