Question

Докажите равенство: sin(α+β)-sin⁡(α-β)=2cos α sin⁡ β ДАЮ 15 БАЛЛОВ!

Answer 1

sin(α+β)-sin⁡(α-β)=2cos α sin⁡ β
sinαcosβ + cosαsinβ -sinαcosβ +cosαsinβ = 2cosαsinβ

Пояснение: sin(α+β)=sinαcosβ + cosαsinβ
sin⁡(α-β) = sinαcosβ - cosαsinβ

Answer 2

Давайте докажем данное равенство, используя тригонометрические тождества. Для удобства обозначим левую часть равенства как A, а правую часть как B.

A = sin(α + β) - sin(α - β) B = 2cos α sin β

Сначала выразим sin(α + β) и sin(α - β) через их аргументы:

sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β (формула сложения синусов) sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β (формула вычитания синусов)

Теперь подставим выражения для sin(α + β) и sin(α - β) в равенство A:

A = (sin α cos β + cos α sin β) - (sin α cos β - cos α sin β)

Сократим члены синусов:

A = sin α cos β + cos α sin β - sin α cos β + cos α sin β

Теперь группируем слагаемые:

A = (sin α cos β - sin α cos β) + (cos α sin β + cos α sin β)

Заметим, что первая пара скобок даёт нам 0, а вторая пара скобок содержит одинаковые слагаемые, поэтому можем записать:

A = 0 + 2cos α sin β

Из этого следует:

A = 2cos α sin β

Таким образом, мы показали, что левая часть A равна правой части B, и тем самым доказали заданное равенство:

sin(α + β) - sin(α - β) = 2cos α sin β