Question

Чему равно произведение : (1-1/4)(1-1/9)(1-1/16)...(1-1/225)?

Answer 1

$(1- \frac{1}{2^2})(1- \frac{1}{3^2})(1- \frac{1}{4^2})...(1- \frac{1}{15^2})=\\\\ = \frac{(2-1)(2+1)}{2^2} \frac{(3-1)(3+1)}{3^2} \frac{(4-1)(4+1)}{4^2} ...\frac{(15-1)(15+1)}{15^2} =\\\\ = \frac{1*2*3^2*4^2*5^2*...*14^2*15*16}{2^2*3^2*4^2*5^2*...*15^2} =\\\\= \frac{1*2*15*16}{2^2*15^2} = \frac{16}{30} = \frac{8}{15}$

Ответ: 8/15

Answer 2

Данное произведение является бесконечным произведением и представляет собой произведение бесконечного числа сомножителей. В данном случае, каждый сомножитель имеет вид (1 - 1/n^2), где n принимает значения от 2 до 15.

Таким образом, произведение выглядит следующим образом:

(1 - 1/4)(1 - 1/9)(1 - 1/16)...(1 - 1/225)

Для более удобного вычисления, давайте раскроем первые несколько сомножителей, чтобы обнаружить общую закономерность:

(1 - 1/4) = 3/4 (1 - 1/9) = 8/9 (1 - 1/16) = 15/16 ... (1 - 1/225) = 224/225

Теперь произведение становится:

(3/4)(8/9)(15/16)...(224/225)

Заметим, что множители представляют собой числители последовательных дробей от 3 до 224, а знаменатели всех дробей равны 4, 9, 16, ..., 225, то есть квадратам натуральных чисел.

Теперь можно заметить, что большинство членов дробей сокращаются:

3/4, 8/9, 15/16, ..., 224/225

Мы можем заметить, что числитель каждой дроби равен следующему числу минус 1, а знаменатель равен квадрату этого числа. Таким образом, произведение упрощается до:

(224-1)/(15^2) = 223/225

Итак, произведение равно 223/225.