Question

Натуральные числа а и б таковы, что 5а+6б делится на 11. Докажите что 6а+5б тоже делится на 11.

Answer 1

А, б, в - натуральные числа
доказательство см на фото

Answer 2

Для того чтобы доказать, что если 5а + 6б делится на 11, то и 6а + 5б также делится на 11, воспользуемся методом математической индукции.

Шаг 1: Базовое условие Для начала, убедимся, что утверждение верно для некоторых конкретных значений a и b.

Пусть a = 1 и b = 1: Тогда 5а + 6б = 5 * 1 + 6 * 1 = 5 + 6 = 11, что делится на 11. И 6а + 5б = 6 * 1 + 5 * 1 = 6 + 5 = 11, что также делится на 11.

Базовое условие выполняется.

Шаг 2: Предположение индукции Допустим, что утверждение верно для некоторых значений a и b, т.е., если 5а + 6б делится на 11, то и 6а + 5б делится на 11.

Шаг 3: Индукционное доказательство Докажем, что утверждение верно для следующего значения a и b, т.е., если 5(а + 1) + 6(б + 1) делится на 11, то и 6(а + 1) + 5(б + 1) делится на 11.

Имеем: 5(а + 1) + 6(б + 1) = 5а + 6б + 5 + 6 = (5а + 6б) + (5 + 6).

По предположению индукции, 5а + 6б делится на 11, следовательно, можем записать: 5а + 6б = 11к, где к - целое число.

Тогда выражение 5(а + 1) + 6(б + 1) можно переписать как 11к + (5 + 6).

Теперь заметим, что 5 + 6 = 11, и так как 11 - это делитель самого себя, то данное выражение равно 11 * 1, где 1 - целое число.

Таким образом, получаем: 5(а + 1) + 6(б + 1) = 11к + 11 * 1 = 11(к + 1).

Мы видим, что 5(а + 1) + 6(б + 1) также делится на 11.

Таким образом, утверждение верно для всех натуральных чисел a и b.

Вывод: Если 5а + 6б делится на 11, то 6а + 5б также делится на 11.