Question

Найдите первообразную функцию для f(x) = 30sinx*sin4x

Answer 1

Решение задания смотри на фотографии

Answer 2

Для того чтобы найти первообразную (антипроизводную) функцию для функции $f(x) = 30\sin(x)\sin(4x)$, мы должны использовать метод интегрирования. Поскольку произведение двух функций, которые можно представить в виде произведения $\sin(ax)$ и $\sin(bx)$, можно упростить с использованием тригонометрических тождеств.

Используем следующее тригонометрическое тождество: $\sin(a)\sin(b) = \frac{1}{2}[\cos(a-b) - \cos(a+b)]$

Применим это тождество для функции $f(x)$: $f(x) = 30\sin(x)\sin(4x) = \frac{1}{2}[30\cos(x-4x) - 30\cos(x+4x)]$

Теперь упростим выражения в скобках: $f(x) = \frac{1}{2}[30\cos(-3x) - 30\cos(5x)]$

Теперь найдем первообразные для обоих слагаемых:

1. $\int 30\cos(-3x) \, dx$ Учитывая, что $\cos(-\theta) = \cos(\theta)$, данное выражение становится: $\int 30\cos(-3x) \, dx = 30\int \cos(3x) \, dx$

Теперь интегрируем $\cos(3x)$ по $x$: $\int \cos(3x) \, dx = \frac{1}{3}\sin(3x) + C_1$

2. $\int 30\cos(5x) \, dx$ Интегрируем $\cos(5x)$ по $x$: $\int \cos(5x) \, dx = \frac{1}{5}\sin(5x) + C_2$

Теперь соединим оба результата: $f(x) = \frac{1}{2}[30\cos(-3x) - 30\cos(5x)] = \frac{1}{2} \left[ 30\left(\frac{1}{3}\sin(3x)\right) - 30\left(\frac{1}{5}\sin(5x)\right) \right]$

$f(x) = 15\sin(3x) - 15\sin(5x) + C$

Где $C = \frac{C_1}{2} - \frac{C_2}{2}$ - постоянная интегрирования.

Таким образом, первообразная функция $F(x)$ для $f(x) = 30\sin(x)\sin(4x)$ равна: $F(x) = 15\sin(3x) - 15\sin(5x) + C$

где $C$ - произвольная постоянная.