Question

В футбольном турнире каждая команда сыграла с каждой по одному разу. Команды набрали 16, 14, 10, 10, 8, 6, 5, 3 очков. Сколько команд участвовало в турнире? Сколько очков набрала команда занявшая последнее место? (За выигрыш команда получает 2 очка, за ничью- одно)

Answer 1

Сумма очков ровна 72. Так как в каждой встрече набирается 2 очка, независимо от результата (2+0 или 1+1), то проведено 72:2=36 встреч. Так как количество встреч при турнире каждый с каждым вычисляется по формуле n(n-1)/2, то
n(n-1)/2 = 36
n(n-1)=72
n^2 - n - 72 = 0
По теореме Виета n1 = -8, n2 = 9 . n1 = -8 не является допустимым значение, то есть в турнире участвовало 9 команд
Так как перечислено 8 результатов, которые содержат в себе всю сумму очков, заработанных в турнире, то 9 команда набрала 0 очков

Answer 2

Давайте посчитаем, сколько команд участвовало в турнире, используя информацию о количестве очков.

Каждая команда сыграла с каждой по одному разу. В таком случае, если у нас было N команд, общее количество игр равняется числу сочетаний 2-х команд из N. Формула для числа сочетаний заданного числа элементов N по k элементов равна:

C(N, k) = N! / (k! * (N - k)!)

где "!" обозначает факториал, который равен произведению всех положительных целых чисел до данного числа. Таким образом, мы хотим найти N такое, что C(N, 2) (число игр) равно общему числу игр, которое зависит от суммы полученных очков.

Общее число игр = 16 + 14 + 10 + 10 + 8 + 6 + 5 + 3 = 72

Мы хотим найти такое N, что C(N, 2) = 72.

Теперь вычислим различные варианты числа N и проверим, какой из них удовлетворяет условию:

N = 4: C(4, 2) = 4! / (2! * (4 - 2)!) = 6 N = 5: C(5, 2) = 5! / (2! * (5 - 2)!) = 10 N = 6: C(6, 2) = 6! / (2! * (6 - 2)!) = 15 N = 7: C(7, 2) = 7! / (2! * (7 - 2)!) = 21 N = 8: C(8, 2) = 8! / (2! * (8 - 2)!) = 28 N = 9: C(9, 2) = 9! / (2! * (9 - 2)!) = 36

Таким образом, число команд (N), участвовавших в турнире, равно 9.

Чтобы найти количество очков, которое набрала команда, занявшая последнее место, нужно взять минимальное количество очков (3) и вычесть их из общего количества игр, умноженного на 2 (так как за каждую победу команда получает 2 очка).

Количество очков команды, занявшей последнее место = (Общее количество игр * 2) - 3 = (72 * 2) - 3 = 141.