Question

Решите дифференциальное уравнение 1 порядка y'=(y/x)-1

Answer 1

Для начала проведем замену: z(x) = y(x)/x или y = zx, тогда:
y' = x*z'+z = z -1, получаем:
z' =-1/x, разделяем переменные:
dz = -dx/x, интегрируем: z = -ln|x|,
итого: y = -x ln |x|

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными, нам необходимо переписать уравнение так, чтобы все y-содержащие части находились в одной части уравнения, а x-содержащие части - в другой.

Данное уравнение имеет вид: y' = (y/x) - 1

Чтобы привести его к разделяющимся переменным, добавим y к обеим сторонам уравнения:

y' + y = y/x

Теперь у нас есть уравнение, которое можно решить методом разделяющихся переменных. Для этого разделим обе части уравнения на (y + x):

(y' + y)/(y + x) = 1/x

Теперь проинтегрируем обе стороны уравнения:

∫(y' + y)/(y + x) dx = ∫(1/x) dx

Для левой стороны воспользуемся методом замены переменных. Пусть z = y + x, тогда dz = dy + dx. Тогда уравнение примет вид:

∫dz/z = ∫(1/x) dx

ln|z| = ln|x| + C1, где C1 - постоянная интегрирования.

Теперь восстанавливаем z, подставляя обратную замену:

ln|y + x| = ln|x| + C1

Теперь избавимся от логарифмов, применяя экспоненциальную функцию к обеим сторонам:

y + x = C2 * x, где C2 = ±e^(C1) - новая константа интегрирования.

Теперь выразим y:

y = C2 * x - x

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения первого порядка:

y = C * x - x, где C - произвольная постоянная.