Question

Исследовать функцию y=1/3x^3-x^2-3x+9 Желательно с решением, пожалуйста

Answer 1

ДАНОY = 1/3*X³ - 9 ИССЛЕДОВАНИЕ1. Область определения - Х∈(-∞;+∞)2. Пересечение с осью Х. Y=0 при х = 3.3. Пересечение с осью У.  У(0) = 9.4. Поведение на бесконечности.limY(-∞) = - ∞ и limY(+∞) = +∞5. Исследование на чётность.Y(-x) = -x³/3 + 9 ≠ Y(x).Функция ни чётная ни нечётная.6. Производная функции.Y'(x)= x²7. Корень при Х=0.Возрастает - Х∈(-∞;+∞) - везде8. Вторая производнаяY"(x) = 2x9. Точка перегибаY"(x)=0 при X=0.10. График в приложении.

Answer 2

Для исследования функции y = (1/3)x^3 - x^2 - 3x + 9, мы выполним следующие шаги:

1. Найдем производные функции для анализа стационарных точек и интервалов возрастания/убывания.
2. Найдем точки пересечения с осями координат.
3. Проанализируем поведение функции на интервалах.

Шаг 1: Найдем производные функции:

Первая производная (y') функции y: y' = d/dx [(1/3)x^3 - x^2 - 3x + 9] y' = x^2 - 2x - 3

Вторая производная (y'') функции y: y'' = d/dx [x^2 - 2x - 3] y'' = 2x - 2

Шаг 2: Найдем точки пересечения с осями координат:

a) Точка пересечения с осью y (когда x = 0): y(0) = (1/3)0^3 - 0^2 - 30 + 9 y(0) = 9

Таким образом, функция пересекает ось y в точке (0, 9).

b) Чтобы найти точки пересечения с осью x, решим уравнение y = 0: (1/3)x^3 - x^2 - 3x + 9 = 0

Это уравнение не может быть решено аналитически, но мы можем использовать численные методы, чтобы найти приближенные значения. Предлагаю использовать метод Ньютона для нахождения корней.

Исходя из этого, корни уравнения (точки пересечения с осью x) можно приближенно найти: x ≈ -2.32 x ≈ 3.32 x ≈ 4.00

Шаг 3: Проанализируем поведение функции на интервалах:

a) Анализ интервалов возрастания и убывания:

Из производной функции y' = x^2 - 2x - 3 мы можем найти критические точки, где производная равна нулю: x^2 - 2x - 3 = 0

Решим это уравнение: (x - 3)(x + 1) = 0

Таким образом, критические точки: x = 3 и x = -1

Теперь создадим таблицу для анализа интервалов возрастания и убывания функции:

Интервал	y' (знак)	Тип поведения y
(-∞, -1)	(-)	Убывание
(-1, 3)	(+)	Возрастание
(3, +∞)	(+)	Возрастание

b) Анализ экстремумов:

Теперь, чтобы определить, является ли точка x = 3 экстремумом, проверим значение второй производной в этой точке:

y''(3) = 2 * 3 - 2 = 4 (положительное значение)

Так как вторая производная положительна в точке x = 3, это означает, что функция имеет локальный минимум в этой точке.

Итоги исследования функции:

• Функция пересекает ось y в точке (0, 9).
• Функция имеет три точки пересечения с осью x, которые приближенно равны: x ≈ -2.32, x ≈ 3.32, x ≈ 4.00.
• Функция убывает на интервале (-∞, -1) и возрастает на интервалах (-1, 3) и (3, +∞).
• Функция имеет локальный минимум в точке (3, y(3)), где y(3) ≈ -6.67.

Обратите внимание, что это только общий анализ функции, и вы можете получить более подробные графики и численные значения, используя программы для построения графиков или вычислительных сред.