Question

Найдите наибольшее значение функции y=2cos2x+sin^2x

Answer 1

Экстремальные значения там, где производная обращается в 0
y`=-4sin(2x)+2sinx*cosx=-4sin(2x)+sin(2x)=-3sin(2x)
y`=0 при sin(2x)=0; 2x=pik; x=pik/2
y(pi/2)=-1-min при =pik/2, где к-нечетное
y(pi)=2-max
Ответ y(max)=2 при х=pik/2, где к-четное

Answer 2

Для нахождения наибольшего значения функции y = 2cos(2x) + sin^2(x), нужно проанализировать поведение функции в заданном интервале. Обратите внимание, что данная функция зависит от угла x.

Сначала проанализируем часть функции 2cos(2x). Значение косинуса находится в диапазоне от -1 до 1, и умножение на 2 не изменяет пределы этого диапазона. Таким образом, максимальное значение 2cos(2x) равно 2.

Теперь рассмотрим вторую часть функции sin^2(x). Значение синуса также находится в диапазоне от -1 до 1, но возведение его в квадрат всегда дает неотрицательное значение. Максимальное значение sin^2(x) будет равно 1, когда sin(x) = 1.

Таким образом, наибольшее значение функции y = 2cos(2x) + sin^2(x) достигается, когда cos(2x) = 1 и sin(x) = 1.

Учитывая, что cos(2x) = 1, мы знаем, что 2x = 0 + 2πn, где n - целое число.

Также, если sin(x) = 1, то x = π/2 + 2πk, где k - целое число.

Теперь объединим оба условия и найдем общие значения для x:

1. 2x = 0 + 2πn => x = πn, где n - целое число.
2. x = π/2 + 2πk => x = π/2 + πk, где k - целое число.

Теперь мы имеем два возможных случая:

Случай 1: x = πn Подставим x в функцию: y = 2cos(2x) + sin^2(x) = 2cos(2πn) + sin^2(πn) = 2(1) + 0 = 2.

Случай 2: x = π/2 + πk Подставим x в функцию: y = 2cos(2x) + sin^2(x) = 2cos(2(π/2 + πk)) + sin^2(π/2 + πk) = 2cos(π + 2πk) + sin^2(π/2 + πk) = 2(-1) + 1 = -1.

Таким образом, наибольшее значение функции y = 2cos(2x) + sin^2(x) равно 2, а достигается оно при x = πn, где n - целое число.