Question

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y=2x^3+3x^2+2 на отрезке [-2;1]

Answer 1

Находим критические точки
y'=0
6x^2+6x=0
x(x+1)=0
x= 0, x= -1 обе точки принадлежат заданному отрезку, подставляем.
y(0)= 2
y(-1)= -2+3+2= 3
Находим значения в концах отрезка
y(-2)= -16+12+2= -2
y(1)= 2+3+2= 7
Наибольшее значение 7 при x=1, наименьшеее значение -2 при x=-2

Answer 2

Для найти наибольшее и наименьшее значения функции y = 2x^3 + 3x^2 + 2 на отрезке [-2;1], следует выполнить следующие шаги:

1. Найти значения функции на концах отрезка (x = -2 и x = 1).
2. Найти критические точки функции, где производная равна нулю.
3. Сравнить значения функции в найденных точках, чтобы определить наибольшее и наименьшее значения.

Шаг 1: Найдем значения функции на концах отрезка:

• При x = -2: y = 2*(-2)^3 + 3*(-2)^2 + 2 = 2*(-8) + 3*4 + 2 = -16 + 12 + 2 = -2
• При x = 1: y = 21^3 + 31^2 + 2 = 2 + 3 + 2 = 7

Таким образом, на концах отрезка функция принимает значения -2 и 7.

Шаг 2: Найдем критические точки функции, где производная равна нулю. Для этого найдем производную функции y по x и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки:

y = 2x^3 + 3x^2 + 2 y' = 6x^2 + 6x

Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:

6x^2 + 6x = 0 6x(x + 1) = 0

Отсюда получаем две критические точки: x = 0 и x = -1.

Шаг 3: Осталось найти значения функции в критических точках и сравнить их с уже найденными значениями на концах отрезка:

• При x = 0: y = 20^3 + 30^2 + 2 = 0 + 0 + 2 = 2
• При x = -1: y = 2*(-1)^3 + 3*(-1)^2 + 2 = 2 - 3 + 2 = 1

Таким образом, функция принимает значения 2 и 1 в критических точках.

Итак, наибольшее значение функции на отрезке [-2;1] равно 7, а наименьшее значение равно 1.