Question

Знайти загальний розв'язок диференціального рівняння y"'+y"=4*×

Answer 1

Найдем сначала общее решение соответствующего однородного уравнения
$y'''+y''=0$

Пусть  $y=e^{kx}$, тогда перейдем к характеристическому уравнению
$k^3+k^2=0\\ k^2(k+1)=0\\ k_{1,2}=0;\\ k_3=-1$

Общее решение однородного ур-я:  $y=C_1+xC_2+C_3e^{-x}$

Рассмотрим функцию  $f(x)=4xe^{0\cdot x}$
$P_n(x)=4x~~~\Rightarrow~~~ n=1\\ \alpha =0$

Сравнивая  $\alpha$ с корнями характеристического уравнения, и принимая во внимая, что n=1, частное решение будем искать в виде:
$y$ч.н. =  $x^2(Ax+B)=Ax^3+Bx^2$
$y'=3Ax^2+2Bx\\ y''=6Ax+2B\\ y'''=6A$

Подставим данные в исходное уравнение:
$6A+6Ax+2B=4x\\ \\ 6Ax+6A+2B=4x$

Приравниваем коэффициенты при степени x, получим:

$\displaystyle \left \{ {{6A=4} \atop {6A+2B=0}} \right. ~~~\Rightarrow~~~ \left \{ {{A= \frac{2}{3} } \atop {2B=-4}} \right. ~~~\Rightarrow~~~ \left \{ {{A= \frac{2}{3} } \atop {B=-2 }} \right.$

Частное решение:  $y$ч.н. =  $\frac{2x^3}{3}-2x^2$


ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ НЕОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ:

$y=y_{o.o}+y$ч.н. =  $C_1+xC_2+C_2e^{-x}+\frac{2x^3}{3}-2x^2$

Answer 2

Для знаходження загального розв'язку диференціального рівняння y"'+y"=4*x, спочатку знайдемо його характеристичне рівняння. Позначимо y'' = dy'/dx і y''' = d³y/dx³.

Характеристичне рівняння має вигляд: r³ + r = 0.

Його корені можна знайти, припускаючи, що r є коренем характеристичного рівняння, і знаходячи розв'язок:

r = 0: (x-0) = x. r² + r = 0: (r-0)(r+1) = r(r+1) = 0, тоді r₁ = 0 і r₂ = -1.

Загальний розв'язок характеристичного рівняння має вигляд:

y(x) = c₁e^(0x) + c₂e^(-1x) + c₃*x,

де c₁, c₂, c₃ - це довільні константи, які слід знайти з урахуванням початкових умов.

Тепер шукатимемо частинний розв'язок рівняння за допомогою методу невизначених коефіцієнтів. Оскільки права частина рівняння є 4*x, а характеристичний розв'язок вже знайдений, виберемо частинний розв'язок у вигляді члена, який містить x (помножений на певний коефіцієнт):

y_p(x) = Ax,

де A - невідомий коефіцієнт, який ми хочемо знайти.

Підставимо цей частинний розв'язок у рівняння:

y_p"' + y_p" = 4*x.

Диференціюємо y_p(x):

y_p' = A.

y_p'' = 0.

y_p''' = 0.

Підставимо ці значення у рівняння:

0 + 0 = 4*x.

Таким чином, ми отримали, що 0 = 4*x, що не може бути правдою для будь-якого значення x. Тому, частинний розв'язок у вигляді Ax не підходить.

Для знаходження частинного розв'язку рівняння у вигляді bx (де b - інший невідомий коефіцієнт), нам потрібно врахувати, що характеристичний розв'язок містить також член x. Тому ми виберемо частинний розв'язок у вигляді bx^2:

y_p(x) = bx^2.

Диференціюємо y_p(x):

y_p' = 2bx.

y_p'' = 2b.

y_p''' = 0.

Підставимо ці значення у рівняння:

2b + 2b = 4*x.

4b = 4*x.

b = x.

Таким чином, частинний розв'язок має вигляд y_p(x) = x^3.

Так як загальний розв'язок рівняння має вигляд y(x) = c₁e^(0x) + c₂e^(-1x) + c₃x + x^3, де c₁, c₂, c₃ - це довільні константи, а x^3 - частинний розв'язок, що враховує праву частину рівняння, ми отримали загальний розв'язок диференціального рівняння y"'+y"=4x.