Question

Помогите пожалуйста решить интегралы int dx/x int dx/x+2 int dx/x-1 int 4dx/cos^2x Желательно с объяснением, заранее спасибо!!

Answer 1

Все эти интегралы табличные и решаются проще пареной репы:
1) $\int{\frac{dx}{x} = ln |x| + c$
2) $\int{\frac{dx}{x + 2} = ln |x + 2| + c$
3) $\int{\frac{dx}{x-1} = ln |x-1| + c$
4) $\int{\frac{4\cdot dx}{\cos^2{x}} = 4 \cdot \tan{x} + c$

Answer 2

Конечно, давайте рассмотрим каждый интеграл по отдельности.

1. ∫ dx/x: Это интеграл логарифма естественного основания. Его решение: ∫ dx/x = ln|x| + C,

где C - произвольная постоянная.

2. ∫ dx/(x+2): Для этого интеграла можно сделать замену переменной. Положим u = x + 2, тогда du = dx. Интеграл примет вид: ∫ dx/(x+2) = ∫ du/u = ln|u| + C = ln|x + 2| + C.

3. ∫ dx/(x-1): Аналогично, сделаем замену u = x - 1, du = dx. Интеграл будет равен: ∫ dx/(x-1) = ∫ du/u = ln|u| + C = ln|x - 1| + C.

4. ∫ 4dx/cos^2x: Здесь у нас интеграл с тригонометрической функцией. Для его решения воспользуемся тригонометрической подстановкой. Положим u = tan(x), тогда du = dx/cos^2(x). Интеграл станет: ∫ 4dx/cos^2x = ∫ 4 du = 4u + C = 4tan(x) + C.

Теперь, если у нас есть задача объединить все эти интегралы, мы можем просто записать ответ, суммируя каждый интеграл:

∫ dx/x + ∫ dx/(x+2) + ∫ dx/(x-1) + ∫ 4dx/cos^2x = ln|x| + ln|x + 2| + ln|x - 1| + 4tan(x) + C,

где C - это константа интегрирования, которая учитывает все возможные постоянные, полученные в ходе интегрирования.