Question

Иследовать функцию на монотонность y=x^3-3x^2+4

Answer 1

Решение на фотографии

Answer 2

Для исследования функции на монотонность нужно найти её производную и выяснить знак производной на различных интервалах.

Дана функция: y = x^3 - 3x^2 + 4

Шаг 1: Найдем производную функции y по x. dy/dx = d/dx (x^3 - 3x^2 + 4) dy/dx = 3x^2 - 6x

Шаг 2: Найдем точки, где производная равна нулю (критические точки). 0 = 3x^2 - 6x 3x^2 - 6x = 0 x(3x - 6) = 0

Из этого уравнения получим две критические точки: x = 0 и x = 2.

Шаг 3: Выберем тестовые точки на каждом интервале между критическими точками и за пределами них. Например:

• Если x < 0, возьмем x = -1 (любое число меньше 0).
• Если 0 < x < 2, возьмем x = 1 (любое число между 0 и 2).
• Если x > 2, возьмем x = 3 (любое число больше 2).

Шаг 4: Определим знак производной на каждом интервале:

• Когда x < 0: dy/dx = 3x^2 - 6x dy/dx = 3(-1)^2 - 6(-1) dy/dx = 3 + 6 dy/dx = 9 (положительное значение)

• Когда 0 < x < 2: dy/dx = 3x^2 - 6x dy/dx = 3(1)^2 - 6(1) dy/dx = 3 - 6 dy/dx = -3 (отрицательное значение)

• Когда x > 2: dy/dx = 3x^2 - 6x dy/dx = 3(3)^2 - 6(3) dy/dx = 3 * 9 - 18 dy/dx = 9 (положительное значение)

Шаг 5: Составим таблицу знаков производной и определим монотонность функции на соответствующих интервалах.

markdownCopy code
-------------------------------------------------------------------------------
  Интервал     |  Производная dy/dx  |      Знак производной       | Монотонность
-------------------------------------------------------------------------------
     x < 0     |         9          |         Положительный      | Возрастает
    0 < x < 2   |        -3          |         Отрицательный      | Убывает
     x > 2     |         9          |         Положительный      | Возрастает
-------------------------------------------------------------------------------

Итак, функция y = x^3 - 3x^2 + 4 возрастает на интервалах x < 0 и x > 2, и убывает на интервале 0 < x < 2.