Question

ПОМОГИТЕ СРОЧНО!!!!!!! Доказать:а) а^2+2b^2+c^2 ≥ 2b(а+с)б) (а^2+2)(b^2+2)(a^2+b^2) ≥ 16a^2b^2в) а^2/(1+а^4) ≤ 1/2

Answer 1

........................

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое из неравенств по очереди и докажем их:

а) Доказательство неравенства $a^2 + 2b^2 + c^2 \geq 2b(a + c)$:

Раскроем правую часть неравенства: $2b(a + c) = 2ab + 2bc.$

Теперь добавим и вычтем $b^2$ в левой части: $a^2 + 2b^2 + c^2 \geq a^2 + b^2 + b^2 + c^2.$

Применим неравенство о средних: $\frac{a^2 + b^2}{2} \geq \sqrt{a^2b^2} = |ab|,$ $\frac{b^2 + c^2}{2} \geq \sqrt{b^2c^2} = |bc|.$

Сложим эти неравенства: $a^2 + b^2 + b^2 + c^2 \geq |ab| + |bc| + |bc|.$

Обратите внимание, что $|ab| + |bc| + |bc| = |ab| + 2|bc|$. Так как $|bc|$ неотрицательно, можно записать: $|ab| + 2|bc| \geq 2bc.$

Таким образом, получаем: $a^2 + b^2 + b^2 + c^2 \geq 2bc.$

Это означает, что: $a^2 + 2b^2 + c^2 \geq 2b(a + c).$

б) Доказательство неравенства $(a^2 + 2)(b^2 + 2)(a^2 + b^2) \geq 16a^2b^2$:

Раскроем левую часть неравенства: $(a^2 + 2)(b^2 + 2)(a^2 + b^2) = a^2b^2(a^2 + b^2) + 2(a^2 + b^2) + 4b^2 + 8.$

Мы можем разложить $a^2 + b^2$ на произведение и применить неравенство о средних: $a^2 + b^2 \geq 2|ab|.$

Подставляем это неравенство в наше выражение: $a^2b^2(a^2 + b^2) + 2(a^2 + b^2) + 4b^2 + 8 \geq 2a^2b^2 \cdot 2|ab| + 2 \cdot 2|ab| + 4b^2 + 8.$

Упрощаем: $2a^2b^2 \cdot 2|ab| + 2 \cdot 2|ab| + 4b^2 + 8 = 8|a^3b^3| + 8|ab| + 4b^2 + 8.$