Question

Найдите точку минимума функции y=x^3 - 4x^2 - 8x + 8

Answer 1

Функция кубическая значит ymin=-∞

Answer 2

Чтобы найти точку минимума функции y = x^3 - 4x^2 - 8x + 8, следует выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Найти производную функции y по x. Шаг 2: Приравнять производную к нулю и решить уравнение для нахождения критических точек. Шаг 3: Определить, является ли каждая критическая точка минимумом или максимумом, используя вторую производную тестирования.

Шаг 1: Дифференцируем функцию y по x:

y' = d/dx (x^3 - 4x^2 - 8x + 8) y' = 3x^2 - 8x - 8

Шаг 2: Находим критические точки, приравняв производную к нулю и решив уравнение:

3x^2 - 8x - 8 = 0

Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью факторизации, квадратного корня или формулы дискриминанта. Давайте воспользуемся формулой дискриминанта:

Дискриминант (D) = b^2 - 4ac

где у нас a = 3, b = -8, и c = -8.

D = (-8)^2 - 4 * 3 * (-8) D = 64 + 96 D = 160

Так как дискриминант D > 0, у нас два действительных корня.

x = (-b ± √D) / 2a x = (8 ± √160) / 6 x = (8 ± 4√10) / 6

Таким образом, получаем две критические точки:

x1 = (8 + 4√10) / 6 ≈ 2.25 x2 = (8 - 4√10) / 6 ≈ -0.92

Шаг 3: Для определения типа каждой критической точки, используем вторую производную тестирования. Вычислим вторую производную:

y'' = d^2/dx^2 (3x^2 - 8x - 8) y'' = 6x - 8

Теперь подставим найденные критические точки во вторую производную:

y''(x1) = 6 * 2.25 - 8 ≈ 4.5 - 8 ≈ -3.5 y''(x2) = 6 * (-0.92) - 8 ≈ -5.52 - 8 ≈ -13.52

Теперь анализируем результаты:

• В точке x1 ≈ 2.25, y''(x1) < 0, что значит, что функция меняет направление с восходящего к нисходящему, что указывает на наличие минимума.
• В точке x2 ≈ -0.92, y''(x2) < 0, что также говорит о том, что функция имеет минимум в этой точке.

Таким образом, точки минимума функции y = x^3 - 4x^2 - 8x + 8:

x ≈ 2.25, y ≈ -6.5 x ≈ -0.92, y ≈ 10.4