Question

Знайти похідну функції використавши логарифмічне диференціювання y=(sinx)^ln5x

Answer 1

Ловите решение. Берём натуральный логарифм обоих частей, далее дифференцируем как неявную функцию. Удачи вам!

Answer 2

Для знаходження похідної функції y = (sin(x))^ln(5x) скористаємося логарифмічним диференціюванням. Давайте дійдемо до розв'язку крок за кроком:

1. Почнемо зі зведення функції до логарифмічної форми. Використаємо властивості логарифмів:

   y = (sin(x))^ln(5x) ln(y) = ln((sin(x))^ln(5x))

2. Застосуємо правило степеня для логарифма:

   ln(y) = ln(5x) * ln(sin(x))

3. Тепер диференціюємо обидві сторони за x, використовуючи ланцюжкове правило:

   (1/y) * dy/dx = ln(5x) * d/dx(ln(sin(x))) + ln(sin(x)) * d/dx(ln(5x))

4. Знайдемо похідні частин функції:

   d/dx(ln(sin(x))): Звернімо увагу, що ln(sin(x)) - це композиція функцій, тому застосуємо правило логарифмічного диференціювання: d/dx(ln(sin(x))) = (1/sin(x)) * cos(x)

   d/dx(ln(5x)): Тут ми маємо простий логарифм змінної: d/dx(ln(5x)) = 1/(5x) * 5 = 1/x

5. Підставимо знайдені похідні назад у рівняння:

   (1/y) * dy/dx = ln(5x) * (1/sin(x)) * cos(x) + ln(sin(x)) * (1/x)

6. Тепер розв'яжемо вираз відносно dy/dx (похідної y по x):

   dy/dx = y * [ln(5x) * (1/sin(x)) * cos(x) + ln(sin(x)) * (1/x)]

7. Підставимо y = (sin(x))^ln(5x):

   dy/dx = (sin(x))^ln(5x) * [ln(5x) * (1/sin(x)) * cos(x) + ln(sin(x)) * (1/x)]

Отже, отримали похідну функції y = (sin(x))^ln(5x):

dy/dx = (sin(x))^ln(5x) * [ln(5x) * (1/sin(x)) * cos(x) + ln(sin(x)) * (1/x)]