Question

Y=(sin3x)√x знайти похідну, використовуючи логарифмічне диференціювання

Answer 1

y'=(sin3x)'√x+(sin3x)(√x)'=3(cos3x)*(√x)+(sin3x)(1/(2√x))

Answer 2

Щоб знайти похідну функції Y = (sin3x)√x за допомогою логарифмічного диференціювання, спочатку візьмемо натуральний логарифм від обох боків рівняння:

ln(Y) = ln((sin3x)√x)

Тепер скористаємося властивостями логарифмів для спрощення виразу. Для множника (sin3x)√x ми можемо застосувати правило:

ln(a * b) = ln(a) + ln(b)

Тому:

ln(Y) = ln(sin3x) + ln(√x)

Тепер можемо здійснити диференціювання обох боків рівняння за змінної x:

d/dx(ln(Y)) = d/dx(ln(sin3x) + ln(√x))

Застосуємо правило логарифмічного диференціювання ln(u):

d/dx(ln(u)) = 1/u * du/dx

де u - це функція, по якій беремо логарифм.

Тоді:

d/dx(ln(Y)) = d/dx(ln(sin3x)) + d/dx(ln(√x))

Тепер обчислимо похідні виразів в правій частині:

1. d/dx(ln(sin3x)):

У цьому випадку, u = sin(3x), тому:

d/dx(sin3x) = 3 * cos(3x)

Тоді:

d/dx(ln(sin3x)) = 1/sin3x * d/dx(sin3x) = 1/sin3x * 3 * cos(3x) = 3cot(3x)

2. d/dx(ln(√x)):

Тут u = √x, тому:

d/dx(√x) = 1/(2√x)

Тоді:

d/dx(ln(√x)) = 1/√x * d/dx(√x) = 1/√x * 1/(2√x) = 1/(2x)

Тепер, маючи обидві похідні, знайдемо похідну від ln(Y):

d/dx(ln(Y)) = 3cot(3x) + 1/(2x)

На останньому кроці, знайдемо похідну від Y з правила диференціювання логарифма:

d/dx(Y) = Y * (d/dx(ln(Y)))

Тоді:

d/dx(Y) = (sin3x)√x * (3cot(3x) + 1/(2x))

Це є похідна заданої функції Y = (sin3x)√x з використанням логарифмічного диференціювання.