Question

Интеграл от П/3 П/6 sin3xdx

Answer 1

Я вам решил в общем виде. Чтобы найти определенный интеграл, подставь к указанные приделы в конечную функцию (константу С отбросьте).
Удачи!

Answer 2

Для вычисления данного интеграла вам потребуется использовать замену переменных. Первым шагом можно воспользоваться тригонометрической идентичностью для куба синуса:

sin^3(x) = (1/4) * (3sin(x) - sin(3x))

Теперь интеграл можно записать в виде:

∫[π/3, π/6] sin^3(x) dx = ∫[π/3, π/6] (1/4) * (3sin(x) - sin(3x)) dx

Теперь произведем замену переменных:

Пусть t = sin(x), тогда dt = cos(x) dx Также, когда x = π/6, t = 1, и когда x = π/3, t = 0.

Используя эти значения, пределы интегрирования изменятся от 1 до 0. Теперь интеграл примет вид:

(1/4) * ∫[1, 0] (3t - sin(3arcsin(t))) dt

Здесь у нас есть простая функция t, а также арксинус второго аргумента, что представляет собой обратную функцию sin(x) на интервале [-π/2, π/2].

arcsin(t) - это значение угла, при котором sin(угол) равен t.

Итак, arcsin(t) = x, исходный предел интегрирования был от π/6 до π/3. Поэтому:

arcsin(1) = π/2 arcsin(0) = 0

Интеграл теперь будет:

(1/4) * ∫[1, 0] (3t - sin(3arcsin(t))) dt (1/4) * ∫[1, 0] (3t - sin(3 * 0)) dt (1/4) * ∫[1, 0] (3t - 0) dt (1/4) * ∫[1, 0] 3t dt (1/4) * [ (3/2) * t^2 ] [1, 0] (1/4) * [(3/2) * 1^2 - (3/2) * 0^2] (1/4) * (3/2) 3/8

Таким образом, интеграл от sin^3(x) на интервале от π/6 до π/3 равен 3/8.