Question

В ряду чисел 3, 5, 12, 27... 21 одно число пропущено. Найдите его, если размах ряда равен 35.

Answer 1

Ответ 38, так как самое меньшее число 3 а размах 35, то 35+3=38

Answer 2

Для нахождения пропущенного числа в данном ряду, нужно определить правило, по которому числа генерируются.

Мы видим, что разность между числами в ряду не является постоянной:

5 - 3 = 2 12 - 5 = 7 27 - 12 = 15

Теперь давайте посмотрим на разности между этими разностями:

7 - 2 = 5 15 - 7 = 8

Получается, что разности между разностями также не являются постоянными. Это может говорить о квадратичной зависимости между числами.

Давайте проверим гипотезу, предположив, что числа в ряду генерируются по формуле квадратичной последовательности: $an^2 + bn + c$, где $n$ - номер элемента в ряду (нумерация начинается с 1).

Теперь давайте найдем значения $a$, $b$ и $c$ при помощи первых трех чисел:

1. При $n = 1$: $a + b + c = 3$

2. При $n = 2$: $4a + 2b + c = 5$

3. При $n = 3$: $9a + 3b + c = 12$

Теперь решим эту систему уравнений. Вычтем уравнение 1 из уравнения 2 и уравнение 2 из уравнения 3:

1. $4a + 2b + c - a - b - c = 5 - 3 \implies 3a + b = 2$

2. $9a + 3b + c - 4a - 2b - c = 12 - 5 \implies 5a + b = 7$

Теперь выразим $b$ из одного уравнения и подставим в другое:

$b = 2 - 3a$

$5a + 2 - 3a = 7 \implies 2a = 5 \implies a = \frac{5}{2}$

Теперь найдем $b$:

$b = 2 - 3 \times \frac{5}{2} = 2 - \frac{15}{2} = -\frac{11}{2}$

Теперь, используя найденные значения $a$ и $b$, найдем $c$ из любого уравнения, например, из первого:

$a + b + c = 3 \implies \frac{5}{2} - \frac{11}{2} + c = 3 \implies c = 3 + \frac{11}{2} - \frac{5}{2} = \frac{9}{2}$

Таким образом, у нас есть формула для генерации чисел в ряду:

$an^2 + bn + c = \frac{5}{2}n^2 - \frac{11}{2}n + \frac{9}{2}$

Теперь, чтобы найти пропущенное число, нужно подставить размах ряда (35) в это уравнение и найти значение, которого в ряду нет:

$35 = \frac{5}{2}n^2 - \frac{11}{2}n + \frac{9}{2}$

$5n^2 - 11n + 9 - 70 = 0$

$5n^2 - 11n - 61 = 0$

Для решения этого уравнения можно воспользоваться квадратным уравнением, однако оно не имеет рациональных корней. Поэтому будем использовать численные методы для нахождения корней.

Решив уравнение, найдем два значения для $n$: пропущенное число и его отрицательный аналог (так как у нас формула для квадратичной последовательности). Выберем положительное значение $n$ (так как номер элемента не может быть отрицательным) и найдем пропущенное число:

Полученные значения $n$ ≈ 5.23 и ≈ -2.23.

Так как номер элемента ряда должен быть целым числом, выберем $n = 5$, и подставим его в уравнение:

$an^2 + bn + c = \frac{5}{2} \times 5^2 - \frac{11}{2} \times 5 + \frac{9}{2} = \frac{5}{2} \times 25 - \frac{55}{2} + \frac{9}{2} = \frac{125}{2} - \frac{55}{2} + \frac{9}{2} = \frac{79}{2} = 39.5$