Question

Помогите пожалуйста c следующими заданиями: Найдите промежутки убывания функции f(x)=4x^3+9x^2-12x+3 Вычислить значение выражения:log12 48+log12 3 Решить неравенство:6^(2x-8)<2^16

Answer 1

Держи....................

Answer 2

Давайте решим ваши задания по очереди:

1. Найдите промежутки убывания функции f(x) = 4x^3 + 9x^2 - 12x + 3:

Для этого нам нужно найти значения x, при которых производная функции f'(x) равна нулю, а затем определить знак производной на интервалах между найденными точками.

a) Найдем производную функции f(x): f'(x) = d/dx (4x^3 + 9x^2 - 12x + 3) = 12x^2 + 18x - 12.

b) Найдем значения x, при которых f'(x) = 0: 12x^2 + 18x - 12 = 0. Поделим все члены уравнения на 6: 2x^2 + 3x - 2 = 0.

Теперь решим квадратное уравнение. Можно воспользоваться квадратным корнем, но здесь удобно воспользоваться факторизацией: (2x - 1)(x + 2) = 0.

Отсюда получаем два значения x:

1. 2x - 1 = 0 => x = 1/2,
2. x + 2 = 0 => x = -2.

c) Теперь определим знак производной на интервалах между найденными точками и за пределами этих точек.

Интервалы: (-∞, -2), (-2, 1/2), (1/2, +∞).

Для удобства выберем значения внутри каждого интервала:

• Для x = -3 (любое число меньше -2) -> f'(-3) = 12*(-3)^2 + 18*(-3) - 12 = 90 (положительное значение)
• Для x = 0 (любое число между -2 и 1/2) -> f'(0) = 120^2 + 180 - 12 = -12 (отрицательное значение)
• Для x = 1 (любое число больше 1/2) -> f'(1) = 121^2 + 181 - 12 = 18 (положительное значение)

Таким образом, функция убывает на интервалах (-∞, -2) и (1/2, +∞), и возрастает на интервале (-2, 1/2).

2. Вычислить значение выражения: log12 48 + log12 3:

Мы знаем, что log_a (b) + log_a (c) = log_a (b * c). Используем это свойство, чтобы объединить два логарифма:

log12 48 + log12 3 = log12 (48 * 3) = log12 144.

Теперь остается вычислить логарифм по основанию 12 числа 144:

log12 144 = x, где 12^x = 144.

12^2 = 144, значит x = 2.

Таким образом, log12 48 + log12 3 = log12 144 = 2.

3. Решить неравенство: 6^(2x-8) < 2^16:

Для начала упростим правую часть неравенства: 2^16 = 2^(4*4) = (2^4)^4 = 16^4.

Теперь неравенство принимает вид: 6^(2x-8) < 16^4.

Мы знаем, что 16 = 2^4, поэтому 16^4 = (2^4)^4 = 2^(4*4) = 2^16.

Теперь неравенство имеет вид: 6^(2x-8) < 2^16.

Теперь можно записать неравенство без экспонент:

6^(2x-8) < 2^16.

Теперь уравняем основания и получим:

(6^2)^(2x-8) < 2^16.

6^4^(2x-8) < 2^16.

(1296)^(2x-8) < 2^16.

Теперь можем записать 1296 как 6^4:

(6^4)^(2x-8) < 2^16.

6^(4(2x-8)) < 2^16.

6^(8x-32) < 2^16.

Теперь уберем основание 6 в степени, применив логарифм по основанию 6 к обеим частям неравенства:

8x - 32 < log6 (2^16).

8x - 32 < log6 (65536).

8x - 32 < 4.

Теперь добавим 32 ко всем частям неравенства:

8x < 4 + 32.

8x < 36.

И наконец, разделим на 8:

x < 36 / 8.

x < 4.5.

Ответ: x должен быть меньше 4.5, чтобы неравенство выполнялось.