Question

Помогите пожалуйста c следующими заданиями: Найдите промежутки убывания функции f(x)=4x^3+9x^2-12x+3 Вычислить значение выражения:log12 48+log12 3 Решить неравенство:6^(2x-8)<2^16

Answer 1

Держи....................

Answer 2

Давайте решим ваши задания по порядку:

1. Найдите промежутки убывания функции f(x) = 4x^3 + 9x^2 - 12x + 3:

Для определения промежутков убывания функции нужно найти её производную и решить неравенство f'(x) < 0. Когда производная меньше нуля, функция убывает на соответствующем промежутке.

Сначала найдём производную функции f(x):

f(x) = 4x^3 + 9x^2 - 12x + 3 f'(x) = 12x^2 + 18x - 12

Теперь решим неравенство f'(x) < 0:

12x^2 + 18x - 12 < 0

Для решения данного квадратного неравенства, нужно найти корни квадратного уравнения 12x^2 + 18x - 12 = 0 и посмотреть знаки между ними.

Факторизуем уравнение:

12x^2 + 18x - 12 = 0 2(6x^2 + 9x - 6) = 0

Теперь решим квадратное уравнение:

6x^2 + 9x - 6 = 0

Чтобы решить это уравнение, можно воспользоваться квадратным трёхчленом или квадратным корнем.

Квадратный трёхчлен имеет вид ax^2 + bx + c = 0, а его корни вычисляются по формуле:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

В нашем случае: a = 6, b = 9, c = -6

x = (-9 ± √(9^2 - 4 * 6 * (-6))) / 2 * 6 x = (-9 ± √(81 + 144)) / 12 x = (-9 ± √(225)) / 12 x = (-9 ± 15) / 12

Таким образом, получаем два корня:

1. x = (15 - 9) / 12 = 6 / 12 = 1/2
2. x = (-15 - 9) / 12 = -24 / 12 = -2

Теперь посмотрим знаки между корнями и за пределами их:

1. При x < -2, f'(x) > 0
2. При -2 < x < 1/2, f'(x) < 0
3. При x > 1/2, f'(x) > 0

Таким образом, функция убывает на интервале (-2, 1/2).

2. Вычислить значение выражения: log12 48 + log12 3:

Для решения этого выражения воспользуемся свойствами логарифмов.

Свойство логарифма: log_a (b * c) = log_a b + log_a c

log12 48 + log12 3 = log12 (48 * 3) = log12 144

Теперь найдем, к какому числу нужно возвести основание 12 (а) для получения 144 (b):

12^x = 144

12^2 = 144

Таким образом, log12 144 = 2.

Ответ: log12 48 + log12 3 = 2.

3. Решить неравенство: 6^(2x-8) < 2^16:

Для решения неравенств, содержащих степени с разными основаниями, удобно привести обе стороны к одному основанию. Мы знаем, что 2^4 = 16, поэтому:

2^16 = (2^4)^4 = 16^4

Теперь неравенство примет вид:

6^(2x-8) < 16^4

Теперь приведем основание 6 к тому же виду:

6 = 2^log2 6 ≈ 2^0.77815 (округлим до пяти знаков после запятой)

Теперь неравенство будет выглядеть следующим образом:

(2^0.77815)^(2x-8) < 16^4

2^(0.77815 * (2x-8)) < 2^4

Теперь обе стороны имеют одно и то же основание, и мы можем сравнить показатели степени:

0.77815 * (2x-8) < 4

Теперь решим неравенство относительно (2x-8):

0.77815 * (2x-8) < 4

2x - 8 < 4 / 0.77815

2x - 8 < 5.144

2x < 5.144 + 8

2x < 13.144

x < 13.144 / 2

x < 6.572

Ответ: x < 6.572.