Question

Найдите площадь фигуры ограниченной прямой y=x+2 и графиком функции y=x²+4x+2

Answer 1

Решение задания смотри на фотографии

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной прямой y = x + 2 и графиком функции y = x² + 4x + 2, нужно определить точки их пересечения и затем вычислить интеграл площади между этими точками.

Сначала найдем точки пересечения:

Поскольку y = x + 2 и y = x² + 4x + 2, приравняем их и решим уравнение: x + 2 = x² + 4x + 2

Перенесем все в одну сторону и получим квадратное уравнение: x² + 3x = 0

Теперь факторизуем: x(x + 3) = 0

Таким образом, получаем две точки пересечения:

1. x = 0
2. x + 3 = 0 => x = -3

Теперь, чтобы найти соответствующие значения y для этих точек, подставим x обратно в уравнения:

1. Для x = 0: y = 0 + 2 = 2

2. Для x = -3: y = (-3) + 2 = -1

Таким образом, точки пересечения графиков: (0, 2) и (-3, -1).

Теперь найдем площадь между этими графиками с помощью интеграла. Так как графики пересекаются в точке x = 0 и x = -3, интеграл будет иметь следующий вид:

Площадь = ∫[от -3 до 0] [(x + 2) - (x² + 4x + 2)] dx

Распишем интеграл: Площадь = ∫[от -3 до 0] (x + 2 - x² - 4x - 2) dx

Упростим: Площадь = ∫[от -3 до 0] (-x² - 3x) dx

Вычислим интеграл: Площадь = [(-1/3)x³ - (3/2)x²] от -3 до 0

Подставим пределы интегрирования: Площадь = [(-1/3)(0)³ - (3/2)(0)²] - [(-1/3)(-3)³ - (3/2)(-3)²]

Площадь = [0 - 0] - [(-1/3)(-27) - (3/2)(9)]

Площадь = 0 - [(27/3) - (27/2)]

Площадь = 0 - [9 - 13.5]

Площадь = 0 + 4.5

Ответ: Площадь фигуры, ограниченной прямой y = x + 2 и графиком функции y = x² + 4x + 2, равна 4.5 квадратных единиц.