Question

Решить уравнения 2*3^x+1 +3^x+3=33 5^x+2 +11*5^x=180 9^x - 6*3^x -27=0

Answer 1

1) 2*3^(x+1)+3^(x+3)=33
2*3*3^x + 27*3^x = 33
33*3^x=33
3^x=1
x=0
2) 5^(x+2) + 11*5^x = 180
36*5^x=180
5^x=5
x=1
3) 9^x - 6*3^x - 27 = 0
(3^x)² - 6*3^x - 27 = 0
Пусть 3^x = y
y² - 6y -27 = 0
y1= -3 , не подходит, т.к. 3^x  всегда положителен
y2= 9
значит 3^x = 9
x=2

Answer 2

Для решения данных уравнений, давайте рассмотрим каждое из них по отдельности:

1. Уравнение: $2 \cdot 3^x + 1 + 3^x + 3 = 33$

Сначала объединим слагаемые с $3^x$:

$2 \cdot 3^x + 3^x = 3 \cdot 3^x = 3^{x+1}$

Теперь перепишем уравнение:

$3^{x+1} + 1 + 3 = 33$

Уберем лишние слагаемые:

$3^{x+1} = 33 - 4$

$3^{x+1} = 29$

Теперь выразим $x+1$:

$x+1 = \log_3{29}$

$x = \log_3{29} - 1$

Вычислим численное значение:

$x \approx 2.096$

2. Уравнение: $5^x+2 +11 \cdot 5^x = 180$

Сначала объединим слагаемые с $5^x$:

$5^x + 11 \cdot 5^x = 12 \cdot 5^x = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^x = 2^2 \cdot 3^{x+1}$

Теперь перепишем уравнение:

$2^2 \cdot 3^{x+1} + 2 = 180$

Уберем лишние слагаемые:

$2^2 \cdot 3^{x+1} = 178$

Теперь решим для $x+1$:

$x+1 = \log_3{\frac{178}{2^2}}$

$x = \log_3{\frac{178}{2^2}} - 1$

Вычислим численное значение:

$x \approx 3.321$

3. Уравнение: $9^x - 6 \cdot 3^x - 27 = 0$

Заметим, что $9^x = (3^2)^x = 3^{2x}$, и заменим $3^x$ на $t$:

$t^2 - 6t - 27 = 0$

Теперь решим квадратное уравнение:

$t = \frac{6 \pm \sqrt{6^2 + 4 \cdot 27}}{2}$

$t = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 108}}{2}$

$t = \frac{6 \pm \sqrt{144}}{2}$

$t = \frac{6 \pm 12}{2}$

Таким образом, получаем два возможных значения для $t$:

1. $t = \frac{6 + 12}{2} = 9$

2. $t = \frac{6 - 12}{2} = -3$

Теперь вернемся к замене $t = 3^x$:

1. $3^x = 9 \Rightarrow x = \log_3{9} = 2$