Question

Срочно, помогите, пожалуйста Разложить функцию f(x) = x в ряд Фурье по синусам на интервале (0, 1)

Answer 1

Ловите разложение по синусам. Применяем стандартную формулу, находим b(n).
cos(pi*n) равен +1 для всех чётных n, и -1 для нечётных, следовательно cos(pi*n)= (-1)^n. Примените это для вычисления bn.
Удачи!

Answer 2

Хорошо, чтобы разложить функцию $f(x) = x$ в ряд Фурье по синусам на интервале $(0, 1)$, нам нужно вычислить коэффициенты ряда Фурье для синусов. Формула для коэффициентов аналогична формуле для разложения в ряд Фурье по косинусам, но здесь мы интегрируем функцию $f(x)$ с синусами.

Общая формула для коэффициентов $b_n$ ряда Фурье по синусам на интервале $(0, L)$ выглядит следующим образом:

$b_n = \frac{2}{L} \int_{0}^{L} f(x) \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \, dx$

В нашем случае $L = 1$ (интервал $(0, 1)$), и функция $f(x) = x$, поэтому коэффициенты $b_n$ будут:

$b_n = 2 \int_{0}^{1} x \sin(n\pi x) \, dx$

Теперь выполним интегрирование:

$b_n = 2 \int_{0}^{1} x \sin(n\pi x) \, dx$ $b_n = 2 \left[ \frac{-x}{n\pi} \cos(n\pi x) + \frac{1}{n\pi} \int \cos(n\pi x) \, dx \right]$ $b_n = 2 \left[ \frac{-x}{n\pi} \cos(n\pi x) + \frac{1}{n\pi} \cdot \frac{\sin(n\pi x)}{n\pi} \right]$

Теперь вычислим $b_n$ на интервале $(0, 1)$:

$b_n = 2 \left[ \frac{-1}{n\pi} \cos(n\pi) + \frac{1}{n^2\pi^2} \sin(n\pi) \right]$

Так как $\cos(n\pi) = (-1)^n$ и $\sin(n\pi) = 0$ для чётных $n$, а $\sin(n\pi) = 1$ для нечётных $n$, то коэффициенты $b_n$ примут следующие значения:

Для чётных $n$: $b_n = 0$

Для нечётных $n$: $b_n = \frac{2}{n^2\pi^2}$

Таким образом, разложение функции $f(x) = x$ в ряд Фурье по синусам на интервале $(0, 1)$ будет:

$f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n^2\pi^2} \sin(n\pi x)$

Если вам нужно разложить функцию на конечное число членов, вы можете использовать только первые нечётные слагаемые. Например, разложение в 3 слагаемых:

$f(x) \approx \frac{2}{\pi^2} \sin(\pi x) + \frac{2}{9\pi^2} \sin(3\pi x)$