Question

Разложить функцию f (x) = x, заданную на отрезке [0;π] в ряд Фурье по синусам.

Answer 1

Используйте формулу разложения функции, заданной на половине периода, по синусам 

Answer 2

Для разложения функции f(x) = x в ряд Фурье по синусам на отрезке [0, π], сначала нужно проверить, является ли функция f(x) четной или нечетной на данном отрезке.

Функция f(x) = x является нечетной функцией, так как f(-x) = -x, что не равно f(x). Поэтому мы будем использовать формулу разложения Фурье по синусам для нечетных функций:

f(x) = a0/2 + Σ (n=1 до бесконечности) an*sin(nx)

Где a0/2 - это среднее значение функции f(x) на отрезке [0, π], а an - это коэффициенты разложения, которые можно найти с помощью следующей формулы:

an = (2/π) * интеграл от 0 до π (f(x)*sin(nx) dx)

Для нахождения коэффициентов разложения, нужно вычислить интеграл:

an = (2/π) * интеграл от 0 до π (x*sin(nx) dx)

Вычислим этот интеграл:

an = (2/π) * [(-x/n)*cos(nx) - (1/n^2)*sin(nx)] от 0 до π

an = (2/π) * [(-π/n)*cos(nπ) - (1/n^2)*sin(nπ) - (0/n)*cos(0) - (1/n^2)*sin(0)]

Учитывая, что cos(nπ) = (-1)^n и sin(nπ) = 0, получим:

an = (2/π) * [(-π/n)*(-1)^n - (0/n)*cos(0) - (1/n^2)*sin(0)]

an = (2/π) * [(-π/n)*(-1)^n]

Теперь можем записать разложение функции f(x) = x в ряд Фурье по синусам на отрезке [0, π]:

f(x) = a0/2 + Σ (n=1 до бесконечности) [(2/π) * (-π/n)*(-1)^n * sin(nx)]

f(x) = π/2 - Σ (n=1 до бесконечности) [2*(-1)^n/n*sin(nx)]

Таким образом, функцию f(x) = x можно разложить в ряд Фурье по синусам на отрезке [0, π] следующим образом:

f(x) = π/2 - 2*sin(x)/1 + 2*sin(2x)/2 - 2*sin(3x)/3 + ...

где sin(nx) - это базисные функции ряда Фурье по синусам.