Question

Исследовать экстремум У=х^2-5х+8

Answer 1

Функция у=х²-5*х+8 - парабола, ветви её направлены вверх (коэффициент при х² равен 1, то есть положителен), то есть функция имеет точку минимума в вершине параболы. Координата вершины хв=5/2=2,5 (в общем виде для параболы y=a*x²+b*x+c координата вершины находится как хв=-b/(2*a)), yв=y(хв)=2,5²-5*2,5+8=6,25-12,5+8=1,75.

Answer 2

Для исследования экстремума функции У=х^2-5х+8 нужно выполнить несколько шагов: найти первую производную функции и приравнять её к нулю, чтобы найти критические точки, и затем проанализировать вторую производную, чтобы определить, является ли критическая точка точкой минимума или максимума.

1. Найдем первую производную функции У по переменной х: У'(x) = d/dx (x^2 - 5x + 8) = 2x - 5.

2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: 2x - 5 = 0.

3. Решим уравнение: 2x = 5, x = 5/2.

Таким образом, критическая точка находится при x = 5/2.

4. Теперь проанализируем вторую производную функции У: У''(x) = d^2/dx^2 (x^2 - 5x + 8) = d/dx (2x - 5) = 2.

5. Подставим найденную критическую точку во вторую производную: У''(5/2) = 2.

Анализ второй производной:

• Если У''(5/2) > 0, то это означает, что функция выпукла вверх в окрестности точки x = 5/2, и критическая точка является точкой минимума.
• Если У''(5/2) < 0, то это означает, что функция выпукла вниз в окрестности точки x = 5/2, и критическая точка является точкой максимума.
• Если У''(5/2) = 0, тогда тест не дает определенного результата.

Так как У''(5/2) = 2 (число больше нуля), то функция выпукла вверх в окрестности x = 5/2, и критическая точка является точкой минимума.

Итак, экстремум функции У = х^2 - 5х + 8 достигается в точке x = 5/2 и представляет собой точку минимума.