Question

1)y=x^2+5 2) у=3х^2-6x Исследовать на экстремумы функции

Answer 1

1)y=x²+5
y'=2x
y'>0 ; функция возрастает
х€(;+бес)
y'<0; функция убывает
х€(-бес;0)
х=0 точка минимум
2)у=3х²-6х
у'=6х-6
у'=0;6х-6=0;х=1
у'>0;6х-6>0;х>1 функция возрастает
у'<0;6х-6<0;х<1 функция убывает
х=1 точка минимум

Answer 2

Для исследования функций на экстремумы, нужно найти их производные и найти точки, в которых производные равны нулю. Это могут быть локальные минимумы или максимумы функции.

1. Функция у = x^2 + 5: Первая производная функции у по x: y' = d/dx (x^2 + 5) = 2x

Чтобы найти точки экстремума, приравниваем производную к нулю и решаем уравнение: 2x = 0 x = 0

Теперь, чтобы определить, является ли это локальным минимумом или максимумом, нужно проанализировать вторую производную функции.

Вторая производная функции у по x: y'' = d^2/dx^2 (x^2 + 5) = 2

Значение второй производной положительное (2), что означает, что точка x = 0 представляет собой локальный минимум функции y = x^2 + 5.

2. Функция у = 3x^2 - 6x: Первая производная функции у по x: y' = d/dx (3x^2 - 6x) = 6x - 6

Чтобы найти точки экстремума, приравниваем производную к нулю и решаем уравнение: 6x - 6 = 0 6x = 6 x = 1

Теперь, чтобы определить, является ли это локальным минимумом или максимумом, нужно проанализировать вторую производную функции.

Вторая производная функции у по x: y'' = d^2/dx^2 (3x^2 - 6x) = 6

Значение второй производной положительное (6), что означает, что точка x = 1 представляет собой локальный минимум функции y = 3x^2 - 6x.

Итак, мы исследовали обе функции на экстремумы:

1. Функция y = x^2 + 5 имеет локальный минимум в точке (0, 5).
2. Функция y = 3x^2 - 6x имеет локальный минимум в точке (1, -3).