Question

Дана функция: F(x)= - x^3-3x^2+4 найдите: а) точки максимума и минимума б)промежутки возрастания и убывания в) наибольшее и наименьшее её значения на промежутке [-1;2]

Answer 1

F(x)=-x^3-3x^2+4;

F'(x)=-3x^2-6x;

3x^2+6x=0;

3x(x+2)=0;

x1=0; x2=-2. x2∉[-1;2]

F(x) I [-1;0) I  0   I (0;2]

--------------------------------------

F'(x) I    +    I  0    I     -

----------------------------------------

F(x) I возр. I max I убыв. Fmax=4 при х=0 (точка максимума)

Найдем значения на концах промежутка

F(-1)=2 ⇒ наибольшее значение ф-ции на промежутке [-1;2] F(0)=4.

F(2)=-16 - наименьшее значение ф-ции на этом промежутке.

F(x) возрастает при х∈[-1;0], убывает при х∈[0;2].

Answer 2

Для решения задачи, нужно найти производную функции F(x) и проанализировать её поведение на заданном интервале [-1; 2].

а) Чтобы найти точки максимума и минимума, ищем значения x, при которых производная равна нулю:

F'(x) = d/dx (-x^3 - 3x^2 + 4) F'(x) = -3x^2 - 6x

Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:

-3x^2 - 6x = 0 3x^2 + 6x = 0 x(x + 2) = 0

Отсюда получаем два значения x: x = 0 и x = -2.

Теперь найдем вторую производную и проанализируем её знак для определения характера точек (максимум, минимум или точка перегиба):

F''(x) = d/dx (-3x^2 - 6x) F''(x) = -6x - 6

Подставим значения x = 0 и x = -2 во вторую производную:

F''(0) = -6 * 0 - 6 = -6 F''(-2) = -6 * (-2) - 6 = 6

Теперь видим, что при x = 0, вторая производная отрицательна (-6), следовательно, это точка максимума. При x = -2, вторая производная положительна (6), следовательно, это точка минимума.

а) Теперь найдем промежутки возрастания и убывания функции F(x):

1. Возрастание: Функция будет возрастать на промежутках, где производная положительна (F'(x) > 0).

F'(x) = -3x^2 - 6x Посмотрим на знаки производной в интервалах [-1; 0] и [0; 2]:

При x = -1: F'(-1) = -3 * (-1)^2 - 6 * (-1) = -3 + 6 = 3 (положительное значение)

При x = 1: F'(1) = -3 * (1)^2 - 6 * (1) = -3 - 6 = -9 (отрицательное значение)

Значит, функция возрастает на интервале [-1; 0].

2. Убывание: Функция будет убывать на промежутках, где производная отрицательна (F'(x) < 0).

При x = 1: F'(1) = -3 * (1)^2 - 6 * (1) = -3 - 6 = -9 (отрицательное значение)

При x = 2: F'(2) = -3 * (2)^2 - 6 * (2) = -12 - 12 = -24 (отрицательное значение)

Значит, функция убывает на интервале [0; 2].

б) Наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке [-1; 2]:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на данном промежутке, подставим концевые точки интервала (-1 и 2) и найденные точки экстремумов (0 и -2) в функцию F(x):

F(-1) = -(-1)^3 - 3*(-1)^2 + 4 = -(-1) - 3 + 4 = 2 F(0) = -(0)^3 - 3*(0)^2 + 4 = 0 - 0 + 4 = 4 F(1) = -(1)^3 - 3*(1)^2 + 4 = -1 - 3 + 4 = 0 F(2) = -(2)^3 - 3*(2)^2 + 4 = -8 - 12 + 4 = -16

Таким образом, наибольшее значение функции F(x) на интервале [-1; 2] равно 4, а наименьшее значение равно -16.