Question

Найдите точки экстеума функции f(x) =x^3 +3x -9x -15

Answer 1

Скорее всего дана функция f(x) =x³ +3x² -9x -15.

y' = 3x² + 6х - 9.
Приравниваем нулю: 3x² + 6х - 9 = 0.
Сокращаем на 3: x² + 2х - 3 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:
D=2^2-4*1*(-3)=4-4*(-3)=4-(-4*3)=4-(-12)=4+12=16;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x_1=(√16-2)/(2*1)=(4-2)/2=2/2=1;x_2=(-√16-2)/(2*1)=(-4-2)/2=-6/2=-3.
Находим знаки производной.
x =    -4       -3        0         1           2
y' =   15       0       -9         0          15.

Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.
Ответ: в точке х = -3 точка максимума,

            в точке х = 1 точка минимума.

Answer 2

Для поиска экстремумов функции f(x) = x^3 + 3x - 9x - 15, нужно сначала найти её производную и приравнять её к нулю. Затем решим полученное уравнение для нахождения x, где производная равна нулю. Эти значения x будут точками, где функция может иметь экстремумы.

1. Найдем производную функции f(x): f'(x) = d/dx (x^3 + 3x - 9x - 15) f'(x) = 3x^2 + 3 - 9 f'(x) = 3x^2 - 6

2. Приравняем производную к нулю и решим уравнение: 3x^2 - 6 = 0 3x^2 = 6 x^2 = 2 x = ±√2

Таким образом, у нас есть две кандидатские точки экстремума: x = √2 и x = -√2.

3. Чтобы определить тип экстремума в каждой точке, проанализируем знак производной f'(x) в окрестности каждой кандидатской точки.

• Когда x < -√2: Подставим x = -3 (например, выберем число между -√2 и -√3) в производную: f'(-3) = 3(-3)^2 - 6 = 3*9 - 6 = 27 - 6 = 21 (положительное число) Значит, функция убывает слева от x = -√2.

• Когда -√2 < x < √2: Подставим x = 0 (например, выберем число между -√2 и √2) в производную: f'(0) = 3(0)^2 - 6 = 0 - 6 = -6 (отрицательное число) Значит, функция возрастает между x = -√2 и x = √2.

• Когда x > √2: Подставим x = 3 (например, выберем число больше √2) в производную: f'(3) = 3(3)^2 - 6 = 3*9 - 6 = 27 - 6 = 21 (положительное число) Значит, функция убывает справа от x = √2.

4. Вывод: Мы видим, что у функции f(x) = x^3 + 3x - 9x - 15 есть локальный минимум в точке x = -√2 и локальный максимум в точке x = √2.