Question

Докажите, что (n2+1) не делится на 3 2)На сколько сумма четных чисел первой сотни больше за суму нечетных чисел этой сотни.

Answer 1

Число n может давать остатки 0,1 и 2 от деления на 3. Значит n² может давать остатки 0 и 1. Число n²+1 дает остатки 1 или 2 от деления на 3, т.е. не делится на 3.
Если не считать 0, то всего в первой сотне 100 чисел. И четных, и нечетных поровну. При этом каждое четное число больше нечетного с тем же номером на 1. Значит сумма четных чисел больше суммы нечетных на 50

Answer 2

1. Докажем, что число (n^2 + 1) не делится на 3 для любого натурального числа n.

Доказательство от противного: Предположим, что (n^2 + 1) делится на 3. Это означает, что существует такое целое число k, что (n^2 + 1) = 3k.

Теперь рассмотрим два случая:

a) n делится на 3 (n = 3m, где m - целое число) Тогда n^2 также делится на 3 (n^2 = 9m^2), и мы можем записать (n^2 + 1) = 9m^2 + 1. Это число не делится на 3, так как оно дает остаток 1 при делении на 3 (9m^2 + 1 = 3 * (3m^2) + 1).

b) n не делится на 3 (n = 3m + 1 или n = 3m + 2, где m - целое число) Тогда n^2 дает остаток 1 при делении на 3 (n^2 = (3m + 1)^2 = 9m^2 + 6m + 1 = 3 * (3m^2 + 2m) + 1). Таким образом, (n^2 + 1) также дает остаток 2 при делении на 3.

В обоих случаях мы приходим к выводу, что (n^2 + 1) не делится на 3 ни при каких значениях n. Значит, утверждение верно для всех натуральных чисел n.

2. Чтобы вычислить разницу между суммой четных и суммой нечетных чисел первой сотни, нам нужно сначала определить суммы этих двух последовательностей.

Последовательность четных чисел от 2 до 100 (включительно) образует арифметическую прогрессию с шагом 2. Для нахождения суммы четных чисел, мы можем использовать формулу суммы арифметической прогрессии: S_even = (n/2) * (a + l), где n - количество членов последовательности, a - первый член последовательности (в данном случае 2), l - последний член последовательности (в данном случае 100).

S_even = (100/2) * (2 + 100) = 50 * 102 = 5100.

Последовательность нечетных чисел от 1 до 99 (включительно) также образует арифметическую прогрессию с шагом 2 (разница между соседними нечетными числами равна 2). Для нахождения суммы нечетных чисел, мы можем также использовать формулу суммы арифметической прогрессии: S_odd = (n/2) * (a + l), где n - количество членов последовательности, a - первый член последовательности (в данном случае 1), l - последний член последовательности (в данном случае 99).

S_odd = (99/2) * (1 + 99) = 49 * 100 = 4900.

Теперь вычислим разницу: Difference = S_even - S_odd = 5100 - 4900 = 200.

Сумма четных чисел первой сотни больше суммы нечетных чисел этой сотни на 200.