Question

Найти площадь фигуры, ограниченной параболой и осью Ох. y=-x^2+6x-8

Answer 1

Находим крайние точки фигуры - пересечение параболы с осью Ох:

-х² + 6х - 8 = 0.

Квадратное уравнение, решаем относительно x:

Ищем дискриминант:

D=6^2-4*(-1)*(-8)=36-4*(-1)*(-8)=36-(-4)*(-8)=36-(-4*(-8))=36-(-(-4*8))=36-(-(-32))=36-32=4;

Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

x_1=(√4-6)/(2*(-1))=(2-6)/(2*(-1))=-4/(2*(-1))=-4/(-2)=-(-4/2)=-(-2)=2;

x_2=(√4-6)/(2*(-1))=(-2-6)/(2*(-1))=-8/(2*(-1))=-8/(-2)=-(-8/2)=-(-4)=4.

Тогда площадь фигуры равна интегралу:

$S=\int\limits^4_2 {(-x^2+6x-8)} \, dx =\frac{-x^3}{3} +\frac{6x^2}{2} -8x|^4_2=\frac{4}{3}.$

Answer 2

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной параболой и осью Ох, необходимо интегрировать функцию параболы и вычислить разность между двумя интегралами на соответствующих границах. Первым шагом найдем точки пересечения параболы с осью Ох, зная уравнение параболы: y = -x^2 + 6x - 8.

1. Найдем точки пересечения с осью Ох, т.е. значения x, при которых y = 0: 0 = -x^2 + 6x - 8

Мы можем решить это уравнение, используя квадратное уравнение или дополнение квадрата. Воспользуемся дополнением квадрата:

-x^2 + 6x - 8 = -(x^2 - 6x + 8) = -(x^2 - 6x + 9 - 1) = -[(x - 3)^2 - 1] = - (x - 3)^2 + 1

Теперь приравняем полученное выражение к 0:

-(x - 3)^2 + 1 = 0 (x - 3)^2 = 1 x - 3 = ±√1 x = 3 ± 1 x = 4 или x = 2

2. Теперь у нас есть две точки пересечения параболы с осью Ох: x = 4 и x = 2.

3. Интегрируем функцию параболы по оси Ох на интервале от x = 2 до x = 4, чтобы найти площадь между параболой и осью Ох:

Площадь = ∫[2, 4] (-x^2 + 6x - 8) dx

Вычислим интеграл:

∫(-x^2 + 6x - 8) dx = -∫x^2 dx + ∫6x dx - ∫8 dx = -(1/3)x^3 + 3x^2 - 8x + C

Теперь вычислим площадь между параболой и осью Ох, подставив пределы интегрирования:

Площадь = [-(1/3)(4)^3 + 3(4)^2 - 8(4)] - [-(1/3)(2)^3 + 3(2)^2 - 8(2)] = [-(1/3)64 + 48 - 32] - [-(1/3)8 + 12 - 16] = [-64/3 + 16] - [-8/3 - 4] = -48/3 + 12 = -16

Ответ: Площадь фигуры, ограниченной параболой y = -x^2 + 6x - 8 и осью Ох на интервале от x = 2 до x = 4, равна 16 квадратных единиц. Обратите внимание, что площадь имеет отрицательное значение, что объясняется тем, что парабола находится ниже оси Ох на данном интервале.