Question

Решить неравенство:Корень квадратный((3x-2)^2) > x+6 sqrt((3x-2)^2) > x+6

Answer 1

Решение во вложении.

Answer 2

Для решения неравенства нужно разбить его на два отдельных неравенства и решить их по очереди. Начнем с первого неравенства:

1. √((3x - 2)^2) > x + 6

Сначала упростим выражение под корнем:

(3x - 2)^2 = (3x - 2)(3x - 2) = 9x^2 - 12x + 4

Теперь можем переписать первое неравенство:

√(9x^2 - 12x + 4) > x + 6

Теперь избавимся от корня, возведя обе части неравенства в квадрат. При этом нужно учесть, что мы работаем с неравенством, поэтому необходимо сохранить знак при возведении в квадрат:

9x^2 - 12x + 4 > (x + 6)^2

Раскроем правую часть:

9x^2 - 12x + 4 > x^2 + 12x + 36

Теперь приведем всё в одно выражение:

9x^2 - 12x + 4 - x^2 - 12x - 36 > 0

Упростим:

8x^2 - 24x - 32 > 0

Теперь решим квадратное неравенство. Сначала найдем корни уравнения 8x^2 - 24x - 32 = 0:

a = 8, b = -24, c = -32

D = b^2 - 4ac = (-24)^2 - 4 * 8 * (-32) = 576 + 1024 = 1600

Так как D > 0, у уравнения два вещественных корня:

x = (-b + √D) / 2a = (24 + √1600) / 16 = (24 + 40) / 16 = 64 / 16 = 4

x = (-b - √D) / 2a = (24 - √1600) / 16 = (24 - 40) / 16 = -16 / 16 = -1

Теперь проверим знак выражения 8x^2 - 24x - 32 в интервалах между корнями и за пределами:

При x < -1: 8x^2 - 24x - 32 > 0

При -1 < x < 4: 8x^2 - 24x - 32 < 0

При x > 4: 8x^2 - 24x - 32 > 0

Теперь рассмотрим второе неравенство:

2. √((3x - 2)^2) > x + 6

Мы уже упростили выражение под корнем в первом неравенстве и получили, что √((3x - 2)^2) = √(9x^2 - 12x + 4).

Теперь подставим этот результат во второе неравенство:

√(9x^2 - 12x + 4) > x + 6

Мы уже знаем, что в интервалах (-∞, -1) и (4, +∞) это неравенство выполняется. Таким образом, нам остается проверить его только в интервале (-1, 4).

При -1 < x < 4: √(9x^2 - 12x + 4) < 0 (так как 9x^2 - 12x + 4 < 0)

Таким образом, в данном интервале неравенство не выполняется.

Таким образом, итоговое решение неравенства:

x ∈ (-∞, -1) ∪ (4, +∞)