Question

Найдите промежуток возрастания, убывания и точки экстремума функции:у=4x^3-6x^2-3

Answer 1

Y' = 12x^2 - 12x
12x^2 - 12x = 0
x^2 - x =0
x*(x-1) = 0
x=0 или x=1

x = 0 -- max
f(0) = -3

x=1 -- min
f(1) = 4-6-3 = -5

Функция убывает на [0,1].
Функция возрастает на (-беск, 0] ⋃ [1, +беск)

Answer 2

Для нахождения промежутков возрастания, убывания и точек экстремума функции у=4x^3-6x^2-3, следует выполнить следующие шаги:

1. Найдем производную функции у' по переменной x.

2. Найдем критические точки, приравняв у' к нулю и решив уравнение у'=0.

3. С помощью второй производной у'' определим характер точек (максимум, минимум, или нет экстремума).

4. Построим таблицу знаков производной у' для определения промежутков возрастания и убывания функции.

5. Найдем производную функции у': у' = d/dx (4x^3 - 6x^2 - 3) у' = 12x^2 - 12x

6. Найдем критические точки, приравняв у' к нулю: 12x^2 - 12x = 0 12x(x - 1) = 0

   Из этого уравнения получаем две критические точки: x₁ = 0 x₂ = 1

7. Определим характер точек с помощью второй производной у'': у'' = d/dx (12x^2 - 12x) у'' = 24x - 12

   a) Подставим x = 0: у''(0) = 24(0) - 12 = -12 Если у''(0) < 0, то это точка максимума.

   b) Подставим x = 1: у''(1) = 24(1) - 12 = 12 Если у''(1) > 0, то это точка минимума.

8. Построим таблицу знаков производной у' для определения промежутков возрастания и убывания функции:

   x	0	1
   у'	0	0
   знак	0	0

Теперь можем сделать выводы:

1. Точка x₁ = 0 - это точка максимума функции (производная меняет знак с "+" на "-" при переходе через эту точку).

2. Точка x₂ = 1 - это точка минимума функции (производная меняет знак с "-" на "+" при переходе через эту точку).

3. Промежуток возрастания: от минус бесконечности до x₁ = 0.

4. Промежуток убывания: от x₁ = 0 до x₂ = 1.

5. Промежуток возрастания: от x₂ = 1 до плюс бесконечности.

Таким образом, функция у=4x^3-6x^2-3 возрастает на промежутке (-∞, 0), убывает на промежутке (0, 1) и снова возрастает на промежутке (1, +∞). Точка x₁ = 0 - точка максимума, а точка x₂ = 1 - точка минимума функции.