Question

При каких значениях параметра (a) оба корня уравнения x^2+2ax+2x+9a-5=0 отрицательны?

Answer 1

Пусть общий вид квадратного уравнения : $x^2+px+q=0$

Оба корни квадратного уравнения будут отрицательным, если D>0 и p>0, q>0

$x^2+2x(a+1)+9a-5=0\\ D=4(a+1)^2-4(9a-5)=4(a^2-7a+6)$

$\displaystyle \left \{ {{4(a^2-7a+6)>0} \atop {2(a+1)>0}} \right. ~~~\Rightarrow~~~\left \{ {{a \in (-\infty;1)\cup(6;+\infty)} \atop {a>-1}} \right.$

9a-5>0 откуда a>5/9

Откуда получим $a \in (6;+\infty)$ - при этом уравнение имеет два различных отрицательных корня.

Answer 2

Немного преобразуем уравнение.
x² + 2(a+1)x +(9a-5)=0
D/4=(a+1)²-(9a-5)=a²+2a+1-9a+5=a²-7a+6

Квадратное уравнение вида ax²+bx+c=0 (a≠0) имеет два неравных отрицательных корня при следующих условиях: D>0, ac>0, b>0.

Начнем пожалуй с дискриминанта, он должен быть больше или равен нулю, иначе уравнение вобще не будет иметь действительных корней. Нулевой дискриминант возьмем в особый случай, а пока прорешаем неравенство, где он больше нуля.

a²-7a+6>0
D=49-24=25
a₁=(7-5)/2=1
a₂=(7+5)/2=6

__+__\1__-__6/__+_>
a∈(-∞;1)∪(6; ∞)

При этих значения, квадратное уравнение будет иметь два неравных корня.

Второе условие: ac>0
9a-5>0
9a>5
a>5/9
Следовательно, пока, что подходят все значения начиная от 6.

Последнее условие: b>0
2(a+1)>0
a+1>0
a>-1

Из всего этого, a∈(6; ∞)

Внимание нулевому дискриминанту! Из первого неравенства мы вычислили значения a при которых дискриминант равен нулю (a₁=1, a₂=6). При а=6, имеется один отрицательный корень, что можно расценить как 2 равных, таким образом 6 так-же входит к нужным значениям. Осталось проверить a=1.
x²+4x+4=0
(x+2)²=0
x=-2
Единица тоже подходит.

Следовательно при a∈{1}∪[6;∞) оба корня данного уравнения отрицательны. Это и есть ответ.

Answer 3

Для уравнения вида $x^2 + 2ax + 2x + 9a - 5 = 0$, нам нужно найти значения параметра $a$, при которых оба корня уравнения $x$ будут отрицательными.

Для того чтобы корни уравнения были отрицательными, дискриминант должен быть положительным. Дискриминант $D$ для данного уравнения равен:

$D = b^2 - 4ac$

где $a = 1$, $b = 2a + 2$ и $c = 9a - 5$.

Подставим значения $a$, $b$ и $c$ в формулу для дискриминанта:

$D = (2a + 2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (9a - 5)$

Раскроем скобки:

$D = 4a^2 + 8a + 4 - 36a + 20$

Упростим:

$D = 4a^2 - 28a + 24$

Теперь, чтобы оба корня были отрицательными, $D$ должно быть больше нуля:

$D > 0$

Подставим значение $D$:

$4a^2 - 28a + 24 > 0$

Теперь найдем интервалы, в которых это неравенство выполняется. Решим уравнение $4a^2 - 28a + 24 = 0$, чтобы найти точки, где $D = 0$:

$a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ $a = \frac{28 \pm \sqrt{(-28)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 24}}{2 \cdot 4}$ $a = \frac{28 \pm \sqrt{784 - 384}}{8}$ $a = \frac{28 \pm \sqrt{400}}{8}$ $a = \frac{28 \pm 20}{8}$

Таким образом, получаем два значения для $a$:

1. $a_1 = \frac{48}{8} = 6$
2. $a_2 = \frac{8}{8} = 1$

Теперь посмотрим, как меняется знак у $D$ на разных интервалах:

• Если $a < 1$, то оба корня будут положительными (так как $D$ отрицательный).
• Если $1 < a < 6$, то оба корня будут отрицательными (так как $D$ положительный).
• Если $a > 6$, то оба корня снова будут положительными (так как $D$ отрицательный).

Таким образом, ответ: при $a$ из интервала $1 < a < 6$, оба корня уравнения $x^2 + 2ax + 2x + 9a - 5 = 0$ будут отрицательными.