Question

Y=2x^3 +15x^2 -36x+20 Найти промежутки возрастания и убывания экстремумы

Answer 1

Решение на фотографии

Answer 2

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции Y = 2x^3 + 15x^2 - 36x + 20, нужно проанализировать производную этой функции и найти значения x, при которых производная равна нулю. Затем, используя тест знаков производной, можно определить промежутки возрастания и убывания, а также локальные экстремумы.

Шаг 1: Найдем производную функции Y по переменной x: Y'(x) = d/dx(2x^3) + d/dx(15x^2) - d/dx(36x) + d/dx(20)

Вычислим производные: Y'(x) = 6x^2 + 30x - 36

Шаг 2: Найдем значения x, при которых производная равна нулю: 6x^2 + 30x - 36 = 0

Шаг 3: Решим квадратное уравнение: Для решения уравнения можно разделить все коэффициенты на 6, чтобы упростить его: x^2 + 5x - 6 = 0

Теперь факторизуем квадратное уравнение: (x + 6)(x - 1) = 0

Таким образом, получаем два значения x: x1 = -6 и x2 = 1

Шаг 4: Построим таблицу знаков производной Y'(x) в интервалах, образованных найденными значениями x и крайними точками числовой оси (-бесконечность и +бесконечность):

markdownCopy code
   x       | -∞     |  -6     |   1     |  +∞
----------------------------------------------
Y'(x) знак |        |    -    |    +    |

Шаг 5: Из таблицы видно, что производная Y'(x) отрицательна на интервале (-∞, -6) и положительна на интервале (1, +∞).

Теперь мы можем сделать выводы о промежутках возрастания и убывания функции Y:

1. Функция Y возрастает на интервале (1, +∞).
2. Функция Y убывает на интервале (-∞, -6).

Локальные экстремумы:

• Функция имеет локальный максимум на интервале (-∞, -6).
• Функция имеет локальный минимум на интервале (1, +∞).

Обратите внимание, что для определения глобальных экстремумов необходимо рассматривать поведение функции на всей числовой оси. Для этого нужно анализировать значения функции в крайних точках интервалов, а также в точках, где функция может менять свой характер (например, точках разрыва или особых точках).