Question

Найдите точки экстремумов функции y=2x^3 - 6x^2 - 48x -17

Answer 1

1) Находим производную и приравниваем её к нулю: y'=6*x²-12*x-48=6*(x²-2*x-8)=0. Решая уравнение x²-2*x-8=(x+2)*(x-4)=0, находим две критические точки x1=-2, x2=4. Эти точки разбивают область определения функции на интервалы (-∞;-2), (-2;4), (4;∞).

2) Если x∈(-∞;-2), то y'>0 - значит, на этом интервале функция возрастает.

Если x∈(-2;4), то y'<0 - значит, на этом интервале функция убывает. Значит, точка x=-2 является точкой экстремума и притом - точкой максимума.

Если x∈(4;∞), то y'>0 - значит, на этом интервале функция возрастает. Значит, точка x=4 также является точкой экстремума, и притом - точкой минимума.

Ответ: точка x=-2 является точкой максимума, точка x=4 - точкой минимума.

Answer 2

Чтобы найти точки экстремума функции, необходимо сначала найти её производную и приравнять её к нулю. Затем решим уравнение для определения значений x, в которых производная равна нулю. Эти значения x будут соответствовать точкам экстремума функции.

Дана функция: y = 2x^3 - 6x^2 - 48x - 17

Шаг 1: Найдем производную функции y по x.

dy/dx = d/dx (2x^3) - d/dx (6x^2) - d/dx (48x) - d/dx (17)

dy/dx = 6x^2 - 12x - 48

Шаг 2: Приравняем производную к нулю и решим уравнение:

6x^2 - 12x - 48 = 0

Шаг 3: Решим квадратное уравнение. Можно поделить всё на 6 для упрощения:

x^2 - 2x - 8 = 0

Факторизуем:

(x - 4)(x + 2) = 0

Таким образом, получаем два значения x: x = 4 и x = -2.

Шаг 4: Теперь найдем соответствующие значения y, подставив найденные значения x обратно в исходную функцию.

При x = 4:

y = 2 * 4^3 - 6 * 4^2 - 48 * 4 - 17 y = 2 * 64 - 6 * 16 - 192 - 17 y = 128 - 96 - 192 - 17 y = -177

При x = -2:

y = 2 * (-2)^3 - 6 * (-2)^2 - 48 * (-2) - 17 y = 2 * (-8) - 6 * 4 + 96 - 17 y = -16 - 24 + 96 - 17 y = 39

Таким образом, точки экстремума функции y = 2x^3 - 6x^2 - 48x - 17 находятся в точках (4, -177) и (-2, 39). Точка (4, -177) является локальным максимумом, а точка (-2, 39) - локальным минимумом.