Question

Уравнение геометрического места точек на плоскости OXY, равноудалённых от точек А(5;4) и В(7;-2), имеет вид...

Answer 1

Геометрическое место точек, равноудалённых от двух заданных точек А и В - это перпендикуляр к отрезку АВ, проходящий через середину отрезка АВ.

Пусть точка М - середина отрезка АВ, тогда её координаты равны:

х=(5+7)/2=6 , у=(4-2)/2=1 ⇒ М(6,1)

Вектор АВ имеет координаты =(7-5;-2-4)=(2;-6) . Он ортогонален серединному перпендикуляру, значит является нормальным вектором для серединного перпендикуляра.

Составим уравнение прямой, проходящей через точку М , и имеющей нормальный вектор n=(2;-6):

$2(x-6)-6(y-1)=0\, |:2\\\\x-6-3(y-1)=0\\\\\underline {x-3y-3=0}\\\\3y=x-3}\\\\\underline {y=\frac{1}{3}\cdot x-1}$

Answer 2

Искомым графиком является прямая:
Пусть точка О - принадлежит искомой прямой и равноудалена от А и В (то есть О- середина отрезка АВ), тогда
$O = ( \frac{5 + 7}{2} ; \frac{4 - 2}{2} ) = (6;1) \\ \\ \vec {AB} = (7 - 5; - 2 - 4) = (2; - 6)$
Если искомая прямая равноудалена от точек А и В, то вектор АВ будет перпендикулярен данной прямой, поэтому уравнение искомой прямой имеет вид:

$a(x - x _{0}) + b(y - y _{0}) = 0$
Где а и b - координаты нормального (перпендикулярного вектора), а х0 и у0 - координаты точки, через которую проходит прямая

В итоге получаем:

2(x-6)-6(y-1)=0 |:2

x-6-3(y-1)=0
x-6-3y+3=0
x-3y-3=0

Ответ: х-3у-3=0

Answer 3

Чтобы найти уравнение геометрического места (ГМ) точек на плоскости, равноудаленных от двух данных точек, воспользуемся определением окружности.

Уравнение окружности с центром в точке (h, k) и радиусом r имеет вид:

(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2

Точка А имеет координаты (5, 4), а точка В имеет координаты (7, -2).

1. Найдем координаты центра окружности. Центр окружности лежит на серединном перпендикуляре между точками А и В.

Центр окружности (h, k) = ((5 + 7) / 2, (4 + (-2)) / 2) = (6, 1)

2. Найдем радиус окружности r, который равен расстоянию от центра до любой из данных точек (например, от центра до точки А):

r^2 = (6 - 5)^2 + (1 - 4)^2 r^2 = 1 + 9 r^2 = 10

Таким образом, уравнение окружности равно:

(x - 6)^2 + (y - 1)^2 = 10

И это будет уравнение геометрического места точек на плоскости OXY, равноудаленных от точек А(5,4) и В(7,-2). Это уравнение определяет окружность с центром в точке (6, 1) и радиусом √10 (около 3.16).