Question

При каких значениях b уравнения |x^2-5x+6|=b имеет ровно 3 решения

Answer 1

При условии,что $b>0$ возведем в квадрат обе части уравнения, имеем:

$(x^2-5x+6)^2=b^2\\ (x^2-5x+6)^2-b^2=0\\ (x^2-5x+6+b)(x^2-5x+6-b)=0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

$x^2-5x+6+b=0~~~\big(\star\big)\\ x^2-5x+6-b=0\big(\star \star\big)$

Это уравнение будет иметь три решения, если один из этих уравнений D>0 и D=0

Найдем дискриминант квадратного уравнения $\big(\star\big)$

$D=25-4(6+b)=25-24-4b=1-4b$

и уравнения $\big(\star \star\big)$

$D=25-4(6-b)=25-24+4b=1+4b$

$\displaystyle \left \{ {{1-4b>0} \atop {1+4b=0}} \right. ~~~\Rightarrow~~~\left \{ {{b$

или

$\displaystyle \left \{ {{1-4b=0} \atop {1+4b>0}} \right. ~~~\Rightarrow~~~ \left \{ {{b=0.25} \atop {b>-0.25}} \right. ~~~\Rightarrow~~~ b=0.25$

Значение b = -0.25 не удовлетворяет условию, ведь b > 0.

Ответ: b =  0,25.

Answer 2

Дано уравнение вида |x^2 - 5x + 6| = b.

Для того чтобы это уравнение имело ровно 3 решения, общее количество решений должно быть нечетным (равным 3) и уравнение должно иметь хотя бы одно действительное решение.

1. Первым шагом рассмотрим действительные корни уравнения x^2 - 5x + 6 = b: Решим уравнение x^2 - 5x + 6 - b = 0, чтобы найти действительные значения x:

Дискриминант D для этого уравнения будет: D = (-5)^2 - 4 * 1 * (6 - b) = 25 - 24 + 4b = 1 + 4b.

Уравнение имеет два действительных корня, если D > 0, и один действительный корень, если D = 0.

2. Теперь рассмотрим случай, когда D > 0, чтобы у уравнения было два действительных корня: D = 1 + 4b > 0 4b > -1 b > -1/4

Таким образом, уравнение |x^2 - 5x + 6| = b имеет ровно 3 решения при значениях b, которые больше чем -1/4.