Question

При каких значениях α и β векторы a = (-2; 3; α) и b = (β; -6; 2) коллинеарные

Answer 1

Ответ:

α = -1; β = 4

Пошаговое объяснение:

a ║ b ⇔ ∃ x∈R a = x·b, то есть, учитывая, что xb = (βx; -6x; 2x)

βx = -2

-6x = 3; x = -0,5

2x = α

-2 = -0,5β; β = -2÷(-0,5); β = 4;

α = -0,5·2 = -1

Answer 2

Ответ:

α=-1 и β=4

Пошаговое объяснение:

Коллинеарные векторы – ненулевые векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Нулевой вектор считается коллинеарным любому другому.

Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух ненулевых векторов: для коллинеарности двух векторов a и b необходимо и достаточно, чтобы они были связаны равенствами b = λ·a, λ∈R или a = μ·b, μ∈R.

Даны векторы a = (-2; 3; α) и b = (β; -6; 2). Из первого равенства необходимого и достаточного условия находим:

(β; -6; 2)=λ·(-2; 3; α) ⇔ (β; -6; 2)=(-2·λ; 3·λ; α·λ) ⇔

$\displaystyle \tt \Leftrightarrow \left \{\begin{array}{ccc}\beta =-2 \cdot \lambda \\-6=3 \cdot \lambda\\2= \alpha \cdot \lambda\end{array} \Leftrightarrow \left \{\begin{array}{ccc}\beta =-2 \cdot (-2)=4 \\\lambda=-2\\ \alpha=2:(-2)= -1 \end{array}$

Значит, если α=-1 и β=4, то векторы a и b коллинеарны.

Answer 3

Два вектора являются коллинеарными, если они параллельны и имеют одинаковое или противоположное направление. Математически это можно выразить следующим образом:

Если векторы a и b коллинеарны, то существует такое число k, что a = k * b.

В данном случае у нас есть векторы:

a = (-2, 3, α) b = (β, -6, 2)

Для того чтобы они были коллинеарны, они должны удовлетворять условию a = k * b, где k - некоторое число.

Таким образом, каждая компонента вектора a должна быть равна соответствующей компоненте вектора b, умноженной на некоторое число k:

-2 = k * β 3 = k * (-6) α = k * 2

Из первого уравнения находим k: k = -2/β Из второго уравнения также находим k: k = 3/(-6) = -1/2

Так как оба выражения равны k, то -2/β = -1/2

Чтобы найти значение β, решим уравнение:

-2/β = -1/2

Умножим обе стороны на β:

-2 = -1/2 * β

Теперь выразим β:

β = -2 / (-1/2) β = 2 * (-2) β = -4

Теперь, когда у нас есть значение β, можем найти значение α, используя одно из первоначальных уравнений:

α = k * 2 α = (-1/2) * 2 α = -1

Таким образом, векторы a и b коллинеарны при значениях α = -1 и β = -4.