Question

Помогите пожалуйста !!!!Найти наименьшее значение функции y(x)=2|x-3|+|3x-2|

Answer 1

Найдём нули подмодульных выражений:

$x-3=0; x=3$

$3x-2=0; x=\frac{2}{3}$

Проставим знаки, подставляя значения из промежутков в модули (см. рис.)

$1) x$

$y=2(3-x)+2-3x=6-2x+2-3x=-5x+8$

$y=5x-8, x$

$2) \frac{2}{3}\leq x\leq 3$

$y=2(3-x)+3x-2=6-2x+3x-2=x+4, \frac{2}{3} \leq x\leq 3$

$y=x+4, \frac{2}{3} \leq x\leq 3$

$3) x>3$

$y=2(x-3)+3x-2=2x-6+3x-2=5x-8, x>3$

$y=5x-8, x>3$

То есть функция убывает до $x=\frac{2}{3}$, а после возрастает

Подставляем $x=\frac{2}{3}$

$y(\frac{2}{3})=2|\frac{2}{3}-3|+|\frac{3*2}{3}-2|=2|3-\frac{2}{3}|=\frac{14}{3}$

Ответ: $\frac{14}{3}$

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения функции y(x) нужно найти минимальное значение выражения 2|x-3|+|3x-2|. Это можно сделать несколькими способами. Один из простых способов - это разбить функцию на несколько интервалов и найти минимум на каждом из них.

Итак, давайте рассмотрим функцию на различных интервалах:

1. Когда x ≤ 2: В этом случае, и |x-3| и |3x-2| будут отрицательными. Поскольку оба значения будут умножаться на положительное число 2, то минимум будет достигаться в точке x = 2, где оба модуля равны нулю. y(x) = 2 |2 - 3| + |3 * 2 - 2| = 2 * 1 + 4 = 6

2. Когда 2 < x ≤ 3: В этом случае, значение |x-3| будет отрицательным, но |3x-2| будет положительным. Минимум модуля |x-3| достигается в точке x = 3, где он равен нулю. y(x) = 2 |x - 3| + |3x - 2| = 2 * (x - 3) + |3x - 2|

   Теперь нужно рассмотреть два подслучая:

   a) Когда 2 < x < 3: В этом случае, и x - 3 и 3x - 2 будут отрицательными, и минимум будет достигаться в точке x = 3. y(x) = 2 * (x - 3) + (3x - 2) = 2x - 6 + 3x - 2 = 5x - 8

   b) Когда x = 3: В этом случае, оба модуля равны нулю, и минимум также будет достигаться в точке x = 3. y(3) = 2 |3 - 3| + |3 * 3 - 2| = 2 * 0 + 7 = 7

3. Когда x > 3: В этом случае, и |x-3| и |3x-2| будут положительными. Поскольку оба значения будут умножаться на положительное число 2, то минимум будет достигаться в точке x = 3, где оба модуля равны нулю. y(x) = 2 |x - 3| + |3x - 2| = 2 * (x - 3) + 3x - 2 = 5x - 8

Теперь найдем минимальное значение функции, которое будет минимальным значением на одном из этих интервалов.

Минимальное значение функции y(x) равно 6 и достигается при x = 2.

Пожалуйста, обратите внимание, что здесь был рассмотрен только интервал x ≤ 3, так как для x > 3 минимум также будет достигаться при x = 2, как было показано в последнем интервале.