Question

При каких значениях параметра a (-1 < a < ½) из трех отрезков с длинами 1 + a , 1 - 2a и 2 можно построить треугольник?

Answer 1

В треугольнике сумма длин двух любых сторон всегда больше третьей стороны

$\displaystyle \begin{cases} & \text{ } 1+a+1-2a>2 \\ & \text{ } 1+a>0\\ & \text{ } 1-2a>0 \end{cases}~~~\Rightarrow~~~\begin{cases} & \text{ } -a>0 \\ & \text{ } a>-1 \\ & \text{ } a$

Получим общее $-1$

Случай 2.

$\begin{cases} & \text{ } 2+a+2>1-2a \\ & \text{ } 1-2a>0 \\ & \text{ } a$

Случай 3.

$\begin{cases} & \text{ } 1-2a+2>1+a \\ & \text{ } a>-1\\ & \text{ } a$

Пересечения всех решений системы неравенств: $-2/3$

Ответ: $a \in (-2/3;0).$

Answer 2

.........................

Answer 3

Для того чтобы построить треугольник с данными длинами сторон, нужно выполнить условие треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны.

Итак, у нас есть три стороны треугольника с длинами 1 + a, 1 - 2a и 2.

Условие треугольника: (1) 1 + a + (1 - 2a) > 2 (2) 1 + a + 2 > 1 - 2a (3) (1 - 2a) + 2 > 1 + a

Упростим и решим каждое неравенство по отдельности:

(1) 1 + a + 1 - 2a > 2 2 - a > 2 -a > 2 - 2 -a > 0 a < 0

(2) 1 + a + 2 > 1 - 2a 3 + a > 1 - 2a 3a > 1 - 1 3a > 0 a > 0

(3) 1 - 2a + 2 > 1 + a 3 - 2a > 1 + a -2a - a > 1 - 3 -3a > -2 a < -2 / -3 a < 2/3

Таким образом, условия для параметра a, при которых можно построить треугольник, это:

-1 < a < 0 и 0 < a < 2/3

Поскольку a не может одновременно удовлетворять обоим неравенствам, треугольник можно построить при:

-1 < a < 0