Question

Найти все решения уравнения (2|x|-1)²=|x| принадлежащие области определения функции y=lg(4x-1), пожалуйста помогите решить подробнее.

Answer 1

Область определения функции y=lg(4x-1): 4x-1>0 откуда x>1/4.

$(2|x|-1)^2=|x|\\ 4x^2-4|x|+1=|x|\\ 4x^2-5|x|+1=0$

Если $x\geq 0$, то $4x^2-5x+1=0$

$D=25-16=9\\ x_1=\frac{5+3}{8} =1\\ x_2=\frac{5-3}{8}=0.25~~~\notin~~~ (0.25;+\infty)$

Случай $x$ можно не рассматривать, ведь корни будут отрицательными и не удовлетворяют неравенству x>1/4

Ответ: 1.

Answer 2

Для начала решим уравнение (2|x|-1)² = |x|. Для удобства заменим |x| на переменную t:

(2t - 1)² = t.

Раскроем квадрат слева:

4t² - 4t + 1 = t.

Приведем все слагаемые в уравнении в одну сторону:

4t² - 4t + 1 - t = 0,

4t² - 5t + 1 = 0.

Теперь решим квадратное уравнение. Используем квадратную формулу:

t = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a,

где a = 4, b = -5 и c = 1.

t = (5 ± √((-5)² - 4 * 4 * 1)) / 2 * 4,

t = (5 ± √(25 - 16)) / 8,

t = (5 ± √9) / 8,

t = (5 ± 3) / 8.

Таким образом, получаем два возможных значения t:

1. t₁ = (5 + 3) / 8 = 8 / 8 = 1,

2. t₂ = (5 - 3) / 8 = 2 / 8 = 1/4.

Теперь вернемся к исходной переменной |x|:

1. |x| = 1,

2. |x| = 1/4.

Теперь найдем значения x, которые удовлетворяют данным уравнениям.

1. |x| = 1:

x = ±1.

2. |x| = 1/4:

x = ±1/4.

Теперь проверим, входят ли эти значения x в область определения функции y = lg(4x - 1).

Логарифм существует только для положительных аргументов. Поэтому нужно проверить, чтобы 4x - 1 было положительным.

1. x = 1: 4 * 1 - 1 = 3 (положительно) - Подходит.
2. x = -1: 4 * (-1) - 1 = -5 (отрицательно) - Не подходит.
3. x = 1/4: 4 * (1/4) - 1 = 0 (не положительно) - Не подходит.
4. x = -1/4: 4 * (-1/4) - 1 = -2 (отрицательно) - Не подходит.

Итак, решения уравнения (2|x|-1)² = |x|, которые принадлежат области определения функции y = lg(4x - 1), это x = 1.