Question

Найти основной период функции y = 1/2 sinx/2 cosx/2 . Ответ 2 пи.

Answer 1

$y = \frac{1}{2} \sin( \frac{x}{2} ) \cos( \frac{x}{2} ) = \frac{1}{4} \times 2 \sin( \frac{x}{2} ) \cos( \frac{x}{2} ) = \\ \\ = \frac{1}{4} \sin(x)$

Использовали формулу:

sin2x = 2sinxcosx

Период y = sinx : Т = 2π

ОТВЕТ: 2π

Answer 2

Для функции $y = \frac{1}{2} \sin\left(\frac{x}{2}\right) \cos\left(\frac{x}{2}\right)$ найдем период по каждой из компонент синуса и косинуса и выберем наименьший из них, так как он будет определять основной период функции.

1. Период $\sin\left(\frac{x}{2}\right)$: Общая формула периода для функции $\sin(ax)$ равна $\frac{2\pi}{|a|}$. Таким образом, период $\sin\left(\frac{x}{2}\right)$ будет $\frac{2\pi}{\left|\frac{1}{2}\right|} = 4\pi$.

2. Период $\cos\left(\frac{x}{2}\right)$: Аналогично, период $\cos\left(\frac{x}{2}\right)$ будет $\frac{2\pi}{\left|\frac{1}{2}\right|} = 4\pi$.

Теперь найдем наименьший общий период для функции $y = \frac{1}{2} \sin\left(\frac{x}{2}\right) \cos\left(\frac{x}{2}\right)$ как наименьшее общее кратное (НОК) периодов компонент синуса и косинуса.

НОК(4\pi, 4\pi) = 4\pi.

Таким образом, основной период функции $y = \frac{1}{2} \sin\left(\frac{x}{2}\right) \cos\left(\frac{x}{2}\right)$ равен $4\pi$.

Ответ: $4\pi$.