Question

Помогите с решением! log_2(x+4)>=log_(4x+16)(8)

Answer 1

$\log_{2}(x+4) \ge \log_{(4x+16)}8 \\ \\ ODZ: \ \left\{ \begin{gathered} x + 4 > 0 \\ 4x+16 > 0 \\ 4x + 16 \ne 1 \end{gathered} \right. \ ; \ \left\{ \begin{gathered} x > -4 \\ x \ne -\dfrac{15}{4} \\ \end{gathered} \right. \ ; \ x \in (-4;-\dfrac{15}{4})\cup ( -\dfrac{15}{4}; +\infty)$

$\log_{2}(x+4) \ge \dfrac{1}{\log_{8}(4x+16)} \\ \\ \log_{2}(x+4) \ge \dfrac{1}{\frac{1}{3}\log_{2}(4x+16)} \\ \\ \log_{2}(x+4) \ge \dfrac{3}{\log_{2}(4(x+4))} \\ \\ \log_{2}(x+4) \ge \dfrac{3}{\log_{2}(4) + \log_{2}(x+4)} \\ \\ \log_{2}(x+4) \ge \dfrac{3}{2 + \log_{2}(x+4)} \\ \\ \log_{2}(x+4) = t \\ \\ t \ge \dfrac{3}{2+t} \\ \\ \dfrac{t^{2}+2t-3}{2+t} \ge 0 \\ \\ \dfrac{(t-1)(t+3)}{2+t} \ge 0 \ (1)$

$\left[ \begin{gathered} -3 \le t < -2 \\ t \ge 1 \\ \end{gathered} \right.$

$\left[ \begin{gathered} -3 \le \log_{2}(x+4) < -2 \\ \log_{2}(x+4) \ge 1 \\ \end{gathered} \right.$

$\left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} \log_{2}(x+4) \ge -3 \\ \log_{2}(x+4) < -2 \\ \end{gathered} \right. \\ \log_{2}(x+4) \ge 1 \\ \end{gathered} \right.$

$\left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} \log_{2}(x+4) \ge \log_{2}2^{-3} \\ \log_{2}(x+4) < \log_{2}2^{-2} \\ \end{gathered} \right. \\ \log_{2}(x+4) \ge \log_{2}2^{1} \\ \end{gathered} \right.$

$\left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} x+4 \ge 2^{-3} \\ x+4 < 2^{-2} \\ \end{gathered} \right. \\ x+4 \ge 2 \\ \end{gathered} \right.$

$\left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} x \ge -\dfrac{31}{8} \\ x < -\dfrac{15}{4} \\ \end{gathered} \right. \\ x \ge -2 \\ \end{gathered} \right.$

$x \in [-\dfrac{31}{8}; -\dfrac{15}{4}) \cup [-2;+\infty)$

С учётом ОДЗ (2):

$x \in [-\dfrac{31}{8}; -\dfrac{15}{4}) \cup [-2;+\infty)$

Ответ: x ∈ [-31/8; -15/4)∪ [-2; +∞)

Answer 2

Для решения данного неравенства, давайте начнем с того, чтобы привести оба логарифма к одному основанию. В данном случае, выберем основание 2, так как у нас уже присутствует логарифм с основанием 2. Затем мы решим получившееся уравнение.

Дано неравенство:

log_2(x + 4) >= log_(4x + 16)(8)

Используем свойство логарифмов: log_a(b) = log_c(b) / log_c(a)

Получим:

log_2(x + 4) >= log_2(8) / log_2(4x + 16)

Так как log_2(8) = 3:

log_2(x + 4) >= 3 / log_2(4x + 16)

Теперь избавимся от дроби, умножив обе стороны неравенства на log_2(4x + 16):

log_2(x + 4) * log_2(4x + 16) >= 3

Заметим, что левая сторона неравенства представляет собой произведение логарифмов с одинаковым основанием, что дает:

log_2((x + 4)(4x + 16)) >= 3

Теперь преобразуем аргумент логарифма:

(x + 4)(4x + 16) >= 2^3

Решим получившееся уравнение:

4x^2 + 20x + 16 >= 8

Перенесем все в левую часть неравенства:

4x^2 + 20x + 8 >= 0

Теперь нам нужно решить квадратное уравнение. Для этого вычислим дискриминант (D):

D = b^2 - 4ac

где a = 4, b = 20 и c = 8:

D = 20^2 - 4 * 4 * 8 = 400 - 128 = 272

Поскольку дискриминант положителен (D > 0), у нас есть два вещественных корня. Таким образом, уравнение имеет два решения. Чтобы найти их, используем формулу для корней квадратного уравнения:

x = (-b ± √D) / 2a

x1 = (-20 + √272) / (2 * 4) ≈ -0.293

x2 = (-20 - √272) / (2 * 4) ≈ -4.707

Таким образом, у нас есть два интервала значений x, которые удовлетворяют неравенству:

1. x <= -4.707
2. -0.293 <= x

Окончательный ответ:

x <= -4.707 или -0.293 <= x