Question

Даю 80 баллов! Решите логарифмические неравенства: (Объясните также логику действия, хотя бы некоторых и хотя бы более сложных, но более распространённых из списка примеров) 1)log_5 (2x^2 - 3x - 1)>0 2)log_2 (x+1) + log_2 (11-x)<5 3) 4)2+log_2 >1-log[tex]_{1/2} [tex]\sqrt{4-x^{2} 5)log[tex]_\frac{1}{2} (x+8) - log[tex]_\frac{1}{2} (x+3)>log[tex]_\frac{1}{2} 3x 6)log_0,8 (3-5x)[tex]\geq 0 7)log_x+7 25>2 8)log_x+1 9<2 9)log_3x-3 x>1 10)log_2 (x+1) + log_2 (11+x)<5 11)lg[tex]\frac{x-5}{x-2} =2 12)log[tex]_\frac{1}{2} (x-[tex]\sqrt{x^2 -16})= -1 13)log_2 (3[tex]^{2x-2} +7)=2+log_2 (3^[tex]{x-1} +1)

Answer 1

Ответ:

x∈(- ≈; - 1/2)  (2;+ ≈)  

Пошаговое объяснение:

og₅ (2x² - 3x - 1) > 0

5 > 0

2x² - 3x - 1 > 5⁰

2x² - 3x - 1 - 1 > 0

2x² - 3x - 2 > 0

D = 9 + 4*2*2 = 25

x₁ = (3 - 5)/4

x₁ = - 1/2

x₂ = (3 + 5)/4

x₂ = 2

      +                  -                        +

------------------------------------------------------------------>

           - 1/2                      2                        x

x∈(- ≈; - 1/2)  (2;+ ≈)  

Answer 2

Давайте решим эти логарифмические неравенства по одному:

1. log_5(2x^2 - 3x - 1) > 0:

Для решения данного неравенства нам нужно найти значения x, при которых выражение 2x^2 - 3x - 1 больше 0. Затем мы найдем интервалы, в которых это неравенство выполняется.

2x^2 - 3x - 1 > 0:

Сначала найдем корни этого квадратного уравнения:

x = (-(-3) ± √((-3)^2 - 4 * 2 * (-1))) / (2 * 2)

x = (3 ± √(9 + 8)) / 4

x = (3 ± √17) / 4

Теперь разделим числовую прямую на три интервала, используя найденные корни:

1. x < (3 - √17) / 4
2. (3 - √17) / 4 < x < (3 + √17) / 4
3. x > (3 + √17) / 4

Далее мы выбираем точку из каждого интервала и проверяем ее значение в исходном неравенстве:

1. Пусть x = 0: log_5(2(0)^2 - 3(0) - 1) = log_5(-1) - недопустимо

2. Пусть x = (3 - √17) / 4: log_5(2((3 - √17) / 4)^2 - 3((3 - √17) / 4) - 1) = log_5(число больше 0) - допустимо

3. Пусть x = (3 + √17) / 4: log_5(2((3 + √17) / 4)^2 - 3((3 + √17) / 4) - 1) = log_5(число больше 0) - допустимо

Таким образом, решением данного неравенства является:

x ∈ (3 - √17) / 4, +∞

2. log_2(x+1) + log_2(11-x) < 5:

Сначала упростим выражение, используя свойство логарифма log(a) + log(b) = log(ab):

log_2((x+1)(11-x)) < 5

(x+1)(11-x) < 2^5

(x+1)(11-x) < 32

Теперь решим получившееся квадратное неравенство:

(x+1)(11-x) - 32 < 0

(x+1)(-x+11) - 32 < 0

(x+1)(-x+11) < 32

Далее разделим числовую прямую на интервалы, используя точки x = -1 и x =