Question

Найдите произведение корней уравнения х³+3х²-3х-1=0

Answer 1

$x^3+3x^2-3x-1=0\\ x^3-1+3x^2-3x=0\\ (x-1)(x^2+x+1)+3x(x-1)=0\\ (x-1)(x^2+x+1+3x)=0\\ (x-1)(x^2+4x+1)=0\\x_1=1$ $x^2+4x+1=0$ Дискриминант кв. уравнения d=12>0. По теореме Виета: x2*x3=1  Произведение корней: x1*x2*x3= 1 *1 = 1  Ответ: 1.

Answer 2

x³+3x²-3x-1=0

(x³-1)+(3x²-3x)=0

(x-1)(x²+x+1)+3x*(x-1)=0

(x-1)(x²+x+1+3x)=0

(x-1)(x²+4x+1)=0

x-1=0

x₁=1

x²+4x+1=0 D=12 √D=√12=2√3

x₂=(-4+2√3)/2=-2+√3

x₃=-2-√3.

x₁*x₂*x₃=1*((-2)+√3)*((-2)-√3)=(-2)²-(√3)²=4-3=1.

Ответ: x₁*x₂*x₃=1.

Answer 3

Для нахождения произведения корней уравнения, нам необходимо сначала найти сами корни уравнения х³ + 3х² - 3х - 1 = 0.

У данного уравнения можно заметить, что одним из его корней является х = 1 (подставим х = 1 и убедимся в этом): 1³ + 31² - 31 - 1 = 1 + 3 - 3 - 1 = 0.

Теперь найдем остальные корни, решив квадратное уравнение х² + 4х + 1 = 0:

Для квадратного уравнения вида ах² + bx + с = 0, корни можно найти по формуле: х = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a.

В нашем случае a = 1, b = 4, c = 1:

х = (-4 ± √(4² - 411)) / 2*1 х = (-4 ± √(16 - 4)) / 2 х = (-4 ± √12) / 2 х = (-4 ± 2√3) / 2.

Таким образом, у нашего уравнения есть еще два корня х₁ = (-4 + 2√3) / 2 и х₂ = (-4 - 2√3) / 2.

Теперь можем найти произведение всех корней: Произведение корней = х₁ * х₂ * х₃ = 1 * ((-4 + 2√3) / 2) * ((-4 - 2√3) / 2).

Упростим это выражение: Произведение корней = (1/2) * (-4 + 2√3) * (-4 - 2√3) = (1/2) * (16 - 42√3 + 42√3 - 12) = (1/2) * (16 - 12) = (1/2) * 4 = 2.

Ответ: Произведение корней уравнения х³ + 3х² - 3х - 1 = 0 равно 2.