Question

найдите общее решение дифференциального уравнения и частное решение удовлетворяющее начальным условиям y"+y"^3=0 ; у(2) = ln(2е) ; у'(2)= 1/2

Answer 1

Ловите. Решение ДУ в функциях действительного переменного оказалось очень простым, поэтому я вам для комплексных также решил, включая частные решения, вдруг пригодится. Будут вопросы, спрашивайте. Удачи!

Answer 2

Для нахождения общего решения дифференциального уравнения и частного решения, удовлетворяющего начальным условиям, следует выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Найти общее решение дифференциального уравнения. Шаг 2: Применить начальные условия, чтобы найти конкретные значения интегральных констант и получить частное решение.

Для начала найдем общее решение дифференциального уравнения y" + y^3 = 0:

Шаг 1: Найдем общее решение. Предположим, что y имеет степенной ряд в точке x = 2:

y(x) = ∑[n=0 до ∞] a_n * (x-2)^n.

Вычислим y''(x):

y''(x) = ∑[n=0 до ∞] a_n * n * (n-1) * (x-2)^(n-2).

Теперь заменим y и y'' в исходном уравнении и приравняем коэффициенты степеней (x-2) к нулю:

∑[n=0 до ∞] a_n * n * (n-1) * (x-2)^(n-2) + ∑[n=0 до ∞] a_n * (x-2)^n = 0.

Выразим каждую из сумм как одну сумму:

∑[n=2 до ∞] a_n * n * (n-1) * (x-2)^(n-2) + ∑[n=0 до ∞] a_n * (x-2)^n = 0.

Теперь сделаем замену переменной n = n + 2 в первой сумме:

∑[n=0 до ∞] a_(n+2) * (n+2) * (n+1) * (x-2)^n + ∑[n=0 до ∞] a_n * (x-2)^n = 0.

Теперь смешаем суммы в одну:

∑[n=0 до ∞] (a_(n+2) * (n+2) * (n+1) + a_n) * (x-2)^n = 0.

Поскольку выражение должно быть равно нулю для всех значений x, коэффициенты при степенях (x-2) должны быть равны нулю:

a_(n+2) * (n+2) * (n+1) + a_n = 0.

Это рекуррентное соотношение для коэффициентов a_n.

Шаг 2: Найдем частное решение с начальными условиями.

Из начальных условий у(2) = ln(2e) и у'(2) = 1/2, мы можем сформулировать следующие условия для коэффициентов:

y(2) = a_0 = ln(2e), y'(2) = a_1 = 1/2.

Теперь, используя рекуррентное соотношение, мы можем найти значения остальных коэффициентов:

a_2 = -2 * 1 * a_0 = -2 * ln(2e), a_3 = -3 * 2 * a_1 = -3 * 2 * (1/2) = -3.

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения y" + y^3 = 0 выглядит следующим образом:

y(x) = ln(2e) - 2 * ln(2e) * (x-2) - 3 * (x-2)^3.

Теперь у нас есть общее решение, удовлетворяющее данному дифференциальному уравнению, и частное решение с указанными начальными условиями.