Question

Найдите все пары положительных целых чисел (m,n) такие, что: 70 + 25n² < m² < 80 + 25n²

Answer 1

70 + 25n² < m² < 80 + 25n²
70 + (5n)² < m² < 80 + (5n)²
70 < m²-(5n)² < 80
70 < (m-5n) (m+5n)< 80
Откуда получаем, учитывая, что произведение это есть число целое и не является простым:

(m-5n) (m+5n)=72
(m-5n) (m+5n)=74
(m-5n) (m+5n)=75
(m-5n) (m+5n)=76
(m-5n) (m+5n)=77
(m-5n) (m+5n)=78

Замечаем, что множители этого произведения отличаются на (m+5n)-(m-5n)= =10n n -целое

найдем делители у чисел
72=2³•3²
74=2•37
75=3•5²
76=2²•19
77=7•11
78=2•3•13

Из всех множителей этих чисел, отличающихся на 10n, где n-целое, нам подходит лишь:
75=5*15

откуда m=10, n=1

Ответ m=10, n=1

Answer 2

Для нахождения всех пар положительных целых чисел (m, n), удовлетворяющих условию 70 + 25n² < m² < 80 + 25n², нужно рассмотреть все возможные значения n и найти соответствующие значения m.

Давайте начнем с ограничений для n:

70 + 25n² < m² < 80 + 25n²

Вычитаем 70 из всех частей неравенства:

25n² < m² - 70 < 25n² + 10

Теперь делим все на 25:

n² < (m² - 70)/25 < n² + 0.4

Так как n - целое число, то (m² - 70)/25 должно быть между двумя квадратами целых чисел n и n+1. Это означает, что значение (m² - 70)/25 должно быть квадратом целого числа.

Давайте рассмотрим значения (m² - 70)/25:

1. При n = 1: (m² - 70)/25 должно быть квадратом целого числа. (m² - 70)/25 = (m² - 70). Таким образом, m² - 70 должно быть квадратом целого числа.
2. При n = 2: (m² - 70)/25 должно быть квадратом целого числа. (m² - 70)/25 = (m² - 70)/25 = m²/25 - 2.8. Таким образом, m² должно быть (25 * квадрат целого числа) + 70.

Теперь рассмотрим квадраты целых чисел:

1. 1² = 1
2. 2² = 4
3. 3² = 9
4. 4² = 16
5. 5² = 25
6. 6² = 36
7. 7² = 49
8. 8² = 64
9. 9² = 81
10. 10² = 100
11. 11² = 121
12. 12² = 144 ...

Подставляем значения m² в условие:

1. При n = 1: m² - 70 = 1 → m² = 71 → m = √71 ≈ 8.43 (не целое)
2. При n = 2: m² - 70 = 4 → m² = 74 → m = √74 ≈ 8.60 (не целое)
3. При n = 3: m² - 70 = 9 → m² = 79 → m = √79 ≈ 8.89 (не целое)
4. При n = 4: m² - 70 = 16 → m² = 86 → m = √86 ≈ 9.27 (не целое)
5. При n = 5: m² - 70 = 25 → m² = 95 → m = √95 ≈ 9.75 (не целое)
6. При n = 6: m² - 70 = 36 → m² = 106 → m = √106 ≈ 10.30 (не целое)
7. При n = 7: m² - 70 = 49 → m² = 119 → m = √119 ≈ 10.91 (не целое)
8. При n = 8: m² - 70 = 64 → m² = 134 → m = √134 ≈ 11.58 (не целое)

Таким образом, для всех положительных целых чисел n нет подходящего целого числа m, удовлетворяющего условию 70 + 25n² < m² < 80 + 25n².