Question

Найти полный дифференциал функции: z=ln(x+5y^2)

Answer 1

Решение во вложении.

Answer 2

Для нахождения полного дифференциала функции z = ln(x + 5y^2) по переменным x и y, мы должны вычислить частные производные по каждой из переменных и затем записать полный дифференциал, используя эти производные. Давайте выполним вычисления:

По определению частной производной функции по переменной x (при фиксированном y) получим:

∂z/∂x = (1 / (x + 5y^2)) * d/dx (x + 5y^2)

где d/dx означает производную по переменной x. Теперь найдем производную от (x + 5y^2) по x:

d/dx (x + 5y^2) = 1.

Подставим это значение обратно в выражение для ∂z/∂x:

∂z/∂x = (1 / (x + 5y^2)) * 1 = 1 / (x + 5y^2).

Теперь посмотрим на частную производную функции по переменной y (при фиксированном x):

∂z/∂y = (1 / (x + 5y^2)) * d/dy (x + 5y^2).

Теперь найдем производную от (x + 5y^2) по y:

d/dy (x + 5y^2) = 10y.

Подставим это значение обратно в выражение для ∂z/∂y:

∂z/∂y = (1 / (x + 5y^2)) * 10y = 10y / (x + 5y^2).

Теперь мы можем записать полный дифференциал dz функции z:

dz = (∂z/∂x) * dx + (∂z/∂y) * dy = (1 / (x + 5y^2)) * dx + (10y / (x + 5y^2)) * dy.

Таким образом, полный дифференциал функции z = ln(x + 5y^2) имеет вид:

dz = (dx / (x + 5y^2)) + (10y * dy / (x + 5y^2)).